2.1 Вопросы для самопроверки
Напишите формулы для вычисления расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении.
Как найти координаты середины отрезка?
Как найти угловой коэффициент прямой, если она задана общим уравнением?
Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Что представляет собой уравнение пучка прямых?
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.
Как найти расстояние от точки до прямой?
3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:
,
где
х, у, z –
проекции вектора
на оси координат,
-
орты (единичные векторы координатных
осей).
Модуль (длина) вектора определяется по формуле:
(3.1.1)
Если известны координаты
начала
и конца В(
)вектора,
то вектор
можно записать следующим образом:
(3.1.2)
Скалярным
произведением двух ненулевых векторов
и
называется произведение их модулей на
косинус угла между ними:
.
Отсюда нетрудно определить угол между векторами
. (3.1.3)
Если
векторы
и
заданы своими проекциями
=
и
=
,
то скалярное
произведение
находится по формуле:
. (3.1.4)
Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:
. (3.1.5)
Векторным
произведением
двух векторов называется вектор
,
определяемый условиями:
вектор перпендикулярен векторам и , т.е.
,
;векторы , и образуют правую тройку;
длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.
.
Для векторов, заданных проекциями = и = , векторное произведение имеет вид:
. (3.1.6)
Отсюда, условие коллинеарности векторов:
. (3.1.7)
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:
(
)
.
Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Если векторы заданы
проекциями
=
,
=
и
=
,
то смешанное произведение имеет вид:
. (3.1.8)
Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:
. (3.1.9)
Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.
Так,
уравнение плоскости, проходящей через
заданную точку М(
),
перпендикулярно вектору
имеет вид:
. (3.1.10)
Уравнение
плоскости, проходящей через три точки:
А(
),
В(
),
и С(
),
имеет вид:
(3.1.11)
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:
, (3.1.12)
где (
)-точка,
через которую проходит прямая;
-проекции
направляющего вектора прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:
. (3.1.13)
Если
прямая вида (3.1.12) перпендикулярна
плоскости, заданной общим уравнением:
,
то выполняется условие:
. (3.1.14)
Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.
Пример 6.
Записать
вектор
в системе орт и найти его модуль, если
А(1, 2, 3);
В(0, 1, 5).
Решение.
Используя формулу (3.1.2) получим:
=(0-1)
=
.
Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:
(ед.дл.)
Пример 7.
Найти
угол между векторами
и
.
Решение.
Используя формулу (3.1.3), получим:
,
что соответствует
углу
.
Пример 8.
Найти
площадь треугольника, образованного
двумя векторами
и
,
выходящими из одной точки.
Решение.
Площадь
треугольника, построенного на векторах
и
,
равна половине площади параллелограмма,
построенного на этих же векторах как
на сторонах, т.е. равна
модуля векторного произведения векторов
и
:
.
Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):
Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):
Тогда искомая площадь будет:
(кв.ед.)
Пример 9.
Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:
.
Решение:
Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен
,
где
,
где
-смешанное
произведение векторов.
Величину найдем по формуле (3.1.8):
=
Тогда
(куб.ед.).
Пример 10.
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).
Решение:
Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:
;
;
.
Пример 11.
Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);
В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).
Решение:
Используя уравнение (3.1.11), получим:
(х-1)
,
Пример 12.
Через
точку А(1, 0, 2) провести прямую,
перпендикулярную плоскости
Решение.
Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:
.
Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).
В нашем
случае это будет:
,
тогда будем иметь:
.