5.1. Двойственность задач управления и наблюдения. Условия наблюдаемости

Пусть выходная переменная наблюдалась на отрезке . Поставим задачу построения линейного функционала от , чтобы восстановить значение , где – заданный вектор. Иными словами, требуется найти такую вектор-функцию , при которой

. (5.3)

Например, если и , , , то соотношение (5.3) определяет величину i-й компоненты вектора фазового вектора , а в общем случае конкретные значения определяют и соответствующие комбинации компонент вектора . Используя формулу Коши (4.7) для уравнения (5.1), имеем , а подставляя в (5.2), получим выражение

,

которое уже можно подставить в (5.3) и получить

Так как – произвольный вектор, то после транспонирования последнего соотношения для функции получим

(5.4)

Рассмотрим вспомогательную управляемую линейную систему

, , (5.5)

, , , ,

где матрицы и будут выбраны ниже. Решения задачи управления (5.5) определяются для соотношением (4.7)

, (5.6)

где – матрица Коши уравнения .

Таким образом, задача наблюдения сведена к интегральному уравнению (5.4) относительно функции , а вспомогательная задача управления к уравнению такого же типа (5.6) относительно управления .

Выберем и так, чтобы (5.4) и (5.6) оказались эквивалентными. Если , то и . Из последнего соотношения найдем выражение для , используя свойства матрицы Коши,

.

Дифференцируя обе части равенства по t и применяя указанные свойства матрицы, получаем

а следовательно,

,

и окончательно имеем

, . (5.7)

Отметим, что равенства правых частей уравнений (5.4) и (5.6) всегда можно добиться выбором и . В этом случае решение уравнений (5.4) и (5.6) эквивалентны, а значит, эквивалентны решение задачи наблюдения (5.1) – (5.3) и управления (5.5). Поэтому указанные задачи называются двойственными.

Определение. Система (5.1) называется наблюдаемой на отрезке по измерениям (5.2) на этом отрезке, если для любого существует функция , удовлетворяющая уравнению (5.4).

Другими словами, для наблюдаемой на отрезке системы (5.1) возможно точное определение величины с помощью линейного преобразования результатов наблюдений при .

Установленная выше двойственность задач наблюдения (5.1)-(5.3) и управления (5.5) позволяет утверждать, что введенное определение наблюдаемости соответствует управляемости системы (5.5). Это значит, что условия наблюдаемости (5.1) совпадают с условиями управляемости системы (5.5), (5.7) и, используя (4.7), можем записать утверждение:

Если матрица и постоянны, то для наблюдаемости системы (5.1) по измерениям (5.2) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

(5.8)

был равен .

Для переменных матриц и точно так же, как в (4.15) получим следующее условие.

Если найдется точка , в которой существуют непрерывные производные матриц и до порядка включительно и в точке ранг матрицы , где

, , , (5.9)

равен , то система (5.1) наблюдаема по измерениям (5.2).

Если в (5.1)-(5.2) матрицы и постоянны, и система наблюдаема, то фазовый вектор (а по формуле Коши и для любых ) можно восстановить по наблюдениям (5.2) на сколь угодно малом интервале . Для доказательства этого воспользуемся соотношением, вытекающим из формулы Коши для (5.1) и из (5.2)

. (5.10)

Дифференцируя раз равенство (5.10) по и получая , получим систему уравнений относительно :

, , … , . (5.11)

Система (5.11) содержит уравнений c неизвестными координатами вектора . В силу способа построения (5.10) система совместна, если для матрицы из (5.8) , что выполнено, так как система наблюдаема. Тогда решаем (5.10) относительно восстанавливаемого фазового вектора

.

Следует заметить, что уравнения (5.1) и (5.2) являются частным случаем неоднородных систем

(5.12)

но результаты условий наблюдаемости и для таких систем сохраняют прежний вид и, вообще, о паре матриц ( , ) говорят как о наблюдаемой паре. Легко показать, что свойство наблюдаемости является инвариантным относительно неособого линейного преобразования координат, т.к. такое преобразование не меняет ранга матрицы управляемости.

Для дискретных систем, описываемых системой уравнений

, , ,

, ,

можно записать

,

а следовательно,

.

Возможность однозначного определения значения по полученным наблюдениям величины , , неявно обусловлена рангом матрицы

,

которую называют грамианом наблюдаемости. Действительно, можно вычислить, если только .

В качестве альтернативного необходимого и достаточного условия наблюдаемости можно использовать условие

которое для стационарной системы, т.е. при постоянных и , имеет вид (5.8).