4.4. Основные результаты раздела
Для линейных нестационарных систем управляемость определяется матрицей
,
где , , i=2,...,n, которая для управляемости должна иметь ранг, равный n, т.е. размерности задачи.
Управляемость линейных стационарных систем. Для управляемости линейных стационарных систем необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости
был равен n (размерности вектора х).
Для управляемости линейной стационарной системы с ограничениями на управление типа u(t) C, С > 0 необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n и, кроме того, чтобы все собственные значения матрицы А лежали на мнимой оси.
Канонический вид линейных стационарных систем.
Если rankY = m < n, то существует матрица Т такая, что
,
при этом
,
;
где
и матрица
определяет стабилизируемость системы,
т.е. система стабилизируема, если
устойчива. Следует заметить, что иногда
[2] канонический вид системы представлен
в виде
, 
;
т.е.
неуправляемые координаты устанавливают
первыми (блок
),
а затем – управляемые. Тогда
стабилизируемость системы определяется
матрицей
.
ЗАДАЧИ
1.
Определить, какая из систем
является управляемой, стабилизируемой,
если:
a)
;
; б)
;
;
в)
;
; г)
;
;
д)
;
; е)
;
.
2. Определить, являются ли представленные системы управляемыми, стабилизируемыми. Стабилизируемость оценить после преобразования системы к каноническому виду.
а)
б)
в)
г)
,
3. Определить управляемость по выходу для линейных систем в задаче 1, если их уравнения выхода y = Cx имеют вид:
a)
; б)
в)
; г)
;
д)
; е)
.
4. Доказать, что система c диагональной матрицей А управляема тогда и только тогда, когда ни одна строка матрицы В не является нулевой. Доказательство:
а) провести непосредственно;
б) получить как следствие критерия управляемости.
5.
Для линейной системы
,
,
,
доказать, что она управляема по выходу,
если ранг матрицы
равен m.
6. Доказать, что невырожденное линейное преобразование T не изменит управляемость системы .
5. Наблюдение в линейных системах. Наблюдатели
При исследовании движения (эволюции) динамической системы в пространстве состояний, а также при решении задач синтеза управления с обратной связью необходимо уметь определять вектор состояния (фазовый вектор). В реальных ситуациях непосредственное измерение фазовых координат либо принципиально невозможно, либо затруднительно или дорогостоящее. Конечно, следует также учитывать ошибки измерений, затрудняющие определенные фазовые векторы. Задачи оценивания вектора состояния с учетом помех описаны в разделе 8. Здесь же рассмотрим случай, когда эти помехи отсутствуют.
Полагаем, что движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением
, (5.1)
где
непосредственно измерению недоступен.
Наблюдаемый вектор
связан с вектором
соотношением
, (5.2)
и задача наблюдения состоит в определении некоторых функций координат вектора по результатам измерений (5.2).