4. Управляемость динамических систем

Анализируя в предыдущем разделе вопросы существования решения системы дифференциальных уравнений (3.15)

, (4.1)

где – начальный и конечный момент процесса, мы получили, что решение всегда существует и имеет вид:

. (4.2)

Используя матрицу Коши для системы (4.1)

, (4.3)

которая непрерывна по t и s вместе со своей частной производной по t и, кроме того, обладает следующими свойствами при каждом фиксированном s:

, (4.4)

, (4.5)

, (4.6)

решение (4.2) можно записать в виде:

. (4.7)

Следовательно, для каждого будет получена определённая траектория в фазовом пространстве , проходящая через начальную точку . Однако, если нам необходимо достичь системой некоторого состояния , то нет гарантии, что среди решений (4.7), обеспеченных свободным выбором , существуют такие, которые проходят через . Следовательно, структура системы (а следовательно, и уравнений) такова, что не обеспечивает достижения заданной точки пространства состояния и о системе мы не можем говорить, что она управляема.

Таким образом, прежде чем решать задачу синтеза управления мы должны определиться с принципиальной возможностью решения такой задачи. Для этого вводится такое свойство системы, как управляемость.

4.1. Управляемость линейных систем

Возвращаясь к управлению линейной системой

, (4.8)

где и допустимым управлением является любая кусочно-непрерывная вектор-функция из . Определим объект вполне или полностью управляемым, если для любой пары существует допустимое управление на конечном интервале , переводящее объект из точки в точку .

Простыми заменами: или можно свести переход системы из в к переходу из , в или из в начало координат соответственно. Таким образом, можно, не снижая общности, рассматривать лишь одну из этих эквивалентных задач.

Определим матрицу управляемости Грама размером следующим образом:

. (4.9)

Тогда система может быть переведена из в , если и только если существует n-мерный вектор , такой что

. (4.10)

Действительно, если существует, то управление , подставленное в (4.8), где обеспечивает достижение . Для доказательства обратного утверждения предположим, что не существует вектора , при котором справедливо (4.10). Тогда найдется [9] такой вектор , что и . Пусть такое, что переводит систему из в , а значит из (4.8) следует, что

, (4.11)

а из определения вектора и формулы (4.9) следует, что

. (4.12)

Равенство (4.12) возможно, если только

для ,

но тогда на и подставляя полученный результат в (4.11) получим, что .

Мы получили противоречие, а значит в указанных условиях не существует управления, переводящего систему из в .

Доказанное утверждение эквивалентно тому, что необходимым и достаточным условием существования допустимого управления является невырожденность матрицы .

Следует обратить внимание, что из (4.10) и там же представленного управления мы можем получить, что решением задачи управления является выражение:

, (4.13)

которое соответствует, как станет ясным позже, оптимальному управлению, минимизирующему затраты на управление.

Для линейных нестационарных систем для оценки управляемости систем используют часто матрицу

(4.14)

где , , i=2,...,n. (4.15)

Утверждается, что, если существует такая точка , в которой ранг матрицы равен , т.е. размерности задачи, то система (4.8) управляема на интервале времени .

Доказательство можно найти в [1,3] и его можно использовать как упражнение, применяя предыдущее доказательство.

Для линейной стационарной системы

, (4.16)

матрица (4.14) принимает вид

(4.17)

и называется матрицей управляемости.

Критерий управляемости такой системы формулируется следующим образом.

Для управляемости системы (4.16) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы в (4.17) был равен . В этом случае пара матриц называется управляемой.

Действительно, пусть система (4.16) управляема, но . Тогда найдется ненулевой вектор такой, что или, что то же самое, и , а из (4.17) следует, что

. (4.18)

На основании теоремы Гамильтона-Кэли матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению (см. Приложение 2 и [4,6]), а поэтому

. (4.19)

Тогда, умножив (4.19) справа на В и слева на и учитывая (4.18), получим

.

Умножив (4.19) на А слева, получим , а справа меняем степени А от первой до n-ой. Но , используя (4.19), заменим линейной комбинацией степеней А от (n-1) до 0. Следовательно, для любого выполняется или окончательно

j=0, 1, 2, . . (4.20)

Согласно формуле Коши, решение для (4.16) с нулевым начальным условием можно представить в виде

, (4.21)

где exp{A(t)} есть решение однородного уравнения (см. Приложение 2):

.

Разлагая в (4.21) в ряд и используя (4.20), получим:

. (4.22)

Это означает, что при любом управлении траектория лежит в некотором подпространстве , ортогональном ненулевому вектору , а следовательно, не все точки достижимы, а это противоречит условию управляемости.

Необходимость условия доказана, а для доказательства достаточности нужно доказать, что, если ранг матрицы управляемости равен , то система управляема. Для этого можно воспользоваться доказательством достаточности (4.10) и подходом, использованным для доказательства необходимости. Рекомендуем провести доказательство достаточности в качестве упражнения.

Для линейных дискретных систем, описываемых разностным уравнением

, , , ,

можно записать:

а следовательно, для перевода системы за k шагов из произвольного начального состояния в любое заданное состояние необходимо и достаточно

.

Для линейных стационарных систем

, , , .

где матрицы и постоянны

,

а следовательно, если

,

то при любом можно указать такие , при которых достигается. Тогда равенство

является необходимым и достаточным условием управляемости системы.

Если управление системой производится по выходу

, ,

то необходимым и достаточным условием управляемости системы по выходу является равенство ранга матрицы

величине . Это условие справедливо, естественно, и для непрерывных систем.