25. Вычеты.

Если ф-ция аналитическая в какой-то конкр. окрестности z=a, она может быт разложена в ряд Лорана: Особую роль среди коэф-тов играет коэф-т С_-1. Он наз. вычетом ф-ции f(z) в точке z=a. . , где контур  ­ замкнутый контур, окружающий точку z=a и положительно ориентированный. В качестве  можно взят окр. С центром в точке а достаточно малого радиуса (чтобы контур не содержал внутри других особых точек).

.

Вычисление вычетов в полюсе.

Пуст точка z=a явл. полюсом 1-ого порядка. В этом случае разложение в ряд Лорана . Домножим f(z) на z-a

. Переходя к пределу при , получим, что .

. Умножим выражение на (z-a)^k . Продифференцировать к-1 раз это выражение и переходя к пределу при , получим: .

Основная теорема о вычетах.

Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой области за исключением крнечного числа особых точек, то согласно теореме (интегр.) Коши для многосвязной области:

. С другой стороны, если интеграл расписать как

.

28. Оригиналы и изображения.

Ф-ция f(t) наз. ф-цией оригиналом, если они удовлетсв. след. 3 условиям: при t<0 { f(0)=f(0+) }

2)сущесвуют константы M и S₀: S₀=ints

S₀ ­ показатель роста ф-ции.

3) на любом промежутке [0;Т] ф-ция должна иметь только конечное число точек разрыва и только 1 рода.

Ф-ция Хевисайда или ф-ция единичного скачка

.

В дальнейшем под ф-цией f(t) будем подразумевать произведение этой ф-ции на ф-цию Хевисайда .

­ интеграл Лапласа (1).

Теорема о существовании: если f(t) ­ ф-ция-оригинал, то изображение F(p) сущ. В полуплоскости , а интеграл (1) в этой полуплоскости сходится абсолютно и равномерно и ф-ция F(p) явл. аналитической ф-цией в этой же полуплоскости.

Док-во: Покажем, что (1) сходиться абсолютно и равномерно в этой полуплоскости.

По признаку Вейер-Штрассе этот интеграл сходится по параметру p, т.е. в этой полуплоскости интеграл сходится абсолютно и равномерно. Нужно показать, что F(p) дифференцируема.

аналогична на полуплоскости.

31.Теорема смещения в области аргумента изображения.

Теорема: умножению оригинала на соответствует смещение аргумента изображения на величину :

Док-во: .

33. Теорема о дифференцировании изображения

Пусть , тогда дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на (-t)

Поскольку F(p) аналогична, то она и дифференцируема

………………………….…..

.

34. Теорема об интегрировании изображения

интегрированию изображение соответствует деление оригинала на t:

Док-во:

; ;

Пример:

.

37. Теорема Бореля об умножении изображений (о свертке)

Пусть функция - функция оригинал , также функция - функция оригинал , тогда

Если вспомнить интеграл Лапласа:

=, где

Покажем порядок интегрирования, получим

=

.

35. Решение систем дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений операционным методом решаются также как и уравнения. Каждое дифференциальное уравнение переводится в операторное уравнение. Затем элементарный метод либо точка разложения находят искомые решения.

28. Применение операционного исчисления для расчета электрических цепей. Применение операционного метода исчисления основано на справедливости законов Кирхгофа для операторных тока и напряжения.Эти функции считают функциями оригиналами. Для различных элементов цепи справедливы следующие соотношения.

(1)

Переведем эти уравнения в операторные уравнения

(2)

(3) , где - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.