27. Уравнения Лагранжа. Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
Для исследования колебательных систем с конечным числом степеней свободы используются уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, составленные в предположении о том, что связи, наложенные на систему, идеальны; уравнения не содержат реакций связей; входящие в уравнения величины, определяющие движения системы, непосредственно связаны обобщенными силами.
Для консервативных систем уравнение Лагранжа записывается через потенциальную энергию:
В этом случае энергия характеризует полную механическую энергию системы.
Колебания системы с одной степенью свободы.
Система с одной СС –
система, положение которой в пространстве
однозначно определяется заданием одной
обобщенной координаты. Например
математический маятник движется по
закону
,
где
начальная фаза,
фаза колебаний,
амплитуда.
Уравнения малых свободных колебаний системы с одной СС.
Колебания называются свободными, если скорость изменения состояния системы определяется только состоянием самой системы. Такая система – линейный осциллятор.
Система консервативна, уравнение Лагранжа:
Сопротивление среды
равно нулю, поэтому
Потенциальная энергия
оценивается через жесткость
системы:
/
Общее решение:
.
Подстановка для
решения:
,
,
Начальные условия
для решения:
Свободные колебания при наличии сопротивления.
В этом случае на
систему действует сила
:
Введем отношение
,
тогда
28. Колебания системы с конечным числом степеней свободы, приведенная система. Кинематическая и потенциальная энергия малых свободных колебаний. Уравнение малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.
Детали или механизмы системы на практике являются сложной упругой системой с бесконечным числом степеней свободы. Для определения положения точек при колебаниях в любой момент времени необходимо найти функцию времени и координат точек. При расчетах упругая система заменяется более простой системой с конечным числом степеней свободы – приведенная система.
Кинематическая энергия системы с степеней свободы:
Если выполняется переход к обобщенным координатам:
инерционные коэффициенты.
Для колебаний возле
положения устойчивого равновесия
разложение коэффициентов
в ряд по степеням
ограничивается рассмотрением постоянного
коэффициента
,
остальные же не рассматриваются ввиду
их малости.
Потенциальная энергия системы может быть выражена через упругие коэффициенты:
Уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия.
Подставляя в уравнение Лагранжа выражения для кинетической и потенциальной энергий b принимая, что: , можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих колебания системы:
Общее решение данной системы уравнений определяет колебания механической системы.
29. Нормальные координаты и главные колебания.
С помощью линейных преобразований следующего вида:
уравнения КЭ и ПЭ преобразуются:
нормальные координаты системы. В таких
координатах уравнение малых колебаний
имеет форму:
Решение имеет вид:
из начальных условий.
Ввиду того, что
изменение нормальных координат происходит
независимо друг от друга, подбирая НУ
можно сделать все
,
кроме одного.
Во время движения системы:
Обобщенные координаты
будут изменятся по одному гармоническому
закону с одной частотой
.
Система при этом совершает главные
(собственные) колебания. Система с
степеней свободы может совершать
колебаний со своими главными частотами
.
В реальных условиях система совершает сложные колебания, которые представляют собой наложение собственных гармонических колебаний.
