Вопрос 17. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

  Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

                                           рис.6.

     

                                           рис.7.

        

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость   задана общим уравнением

                           ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                               ,    ,

в которых   – координаты нормального вектора плоскости  ,   – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если  , то прямая L пересекает плоскость   в точке,координаты которой   можно найти из системы уравнений

              ;           (7)

2) если   и  , то прямая лежит на плоскости;

3) если   и  , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие   говорит о том, что вектроры   и   не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если  , то это означает, что  . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка  . Если  , то точка   – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если  , а  , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

|M₁M₀×a|=|M₁M₀|•|a|•sinφ. sinφ=d/|M₁M₀|, следовательно, d=|M₁M₀|•sinφ. Тогда в силу первого равенства |M₁M₀×a|=d•|a|. d=|M₁M₀×a|/|a|. Так как относительно ПДСК вектор M₁M₀={x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁}, a={a, b, c}, то

Вопрос 18. Эллипс. Каноническое уравнение.

Эллипс - множество точек М плоскости (рис.1), сумма расстояний r1= МF1 и r2= МF2 которых до двух определенных точек F1(-c,0) и F2(c,0) этой плоскости (фокусов эллипса) постоянна

r1+r2=2а.

Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния)называется центром эллипса.

Эллипс

        Определение 12.3   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         

Пусть   и   -- фокусы эллипса. Начало   системы координат расположим на середине отрезка   . Ось   направим вдоль этого отрезка, ось    -- перпендикулярно к этому отрезку (рис. 12.3).

        Теорема 12.2   Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна   , а расстояние между фокусами --   . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

(12.4)

где

(12.5)

        Доказательство.     Пусть    -- текущая точка эллипса. По определению эллипса   . Из треугольника   (рис. 12.3) видно, что   , то есть   ,   , и поэтому число   существует.

Рис.12.3.

Фокусами в выбранной системе координат являются точки   ,   . По формуле (10.4) для плоского случая находим

Тогда по определению эллипса

…Наконец, разделив обе части на   , получим уравнение (12.4).      

Уравнение (12.4) называется каноническим уравнением эллипса.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

        Предложение 12.1   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси   и   , начало координат -- центр симметрии.

        Доказательство.     Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и    -- какая-то точка эллипса. Тогда

(12.6)

Точка   является точкой, симметричной точке   относительно оси   (рис. 12.4).

Рис.12.4.Симметрия точек

Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке 

В силу равенства (12.6) получаем

следовательно, точка   лежит на эллипсе. Точка   является точкой симметричной точке   относительно оси   (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

то есть   является точкой эллипса. Наконец точка   является симметричной точке   относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.      

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив   из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак "  ",

Построим график этой функции. Область определения -- отрезок   ,   , при увеличении переменного   от 0 до   функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси   функция  монотонно растет при изменении   от   до 0. Производная   определена во всех точках интервала   и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная   отрицательна во всех точках интервала   , следовательно, график -- выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка   . Выразим из уравнения (12.4) переменное   через   :  . Очевидно, что в точке   эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке   существует. Легко проверить, что она параллельна оси   . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

Рис.12.5.Эллипс

        Определение 12.4   Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина   называется эксцентриситетом эллипса.         

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты   ,   ,  ,   , большая полуось равна   , малая полуось равна   . Величина   , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (12.5) для величины   , а именно,   .

        Замечание 12.1   Уравнение (12.4) было получено в предположении, что   и    -- различные точки, то есть   . Тогда   . Но кривую, определяемую уравнением (12.4), мы можем рассмотреть и в случае   ,   . Уравнение (12.4) в этом случае после умножения на   примет вид   . Это -- уравнение окружности радиуса   с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда   ,   , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.         

Эксцентриситет   эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса   .

Эллипс обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них (рис. 12.6).

        Предложение 12.2   Пусть   и   -- фокусы эллипса,    -- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке   делит угол   пополам.     

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах   и   где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса:

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Параметрическое уравнение

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где   — параметр уравнения.

Вопрос 19. Гипербола. Каноническое уравнение. Гипе́рбола («бросать», «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

 причем | F1F2 | > 2a > 0.

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

,

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

и

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

где большая a и малая b полуоси.