Вопрос 4 Матрицы и их основные свойства. Действия над ними

Матрица – это математический объект со строками и столбцами содержащий эл-ты (значения)

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

• А+В=В+А

• А+В+С=(А+В)+С

• существует единственная (m×n) матрица О, для которой А+О+А

• для любой матрицы А существует матрица -А такая, что А+(-А)=О

Матрица О называется нулевой матрице. Важно помнить: мы можем складывать матрицы только одинакового размера (m×n)! Если матрицы имеют разную размерность, то складывать их нельзя!!! Транспонирование Транспонированная матрица — матрица A^T, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров   — матрица A^T размеров  , определённая как A^T[i, j] = A[j, i]. Например,       и       Умножение Матрицы можно перемножать между собою, и получать новые матрицы. Но не любые матрицы можно перемножать. Перемножаемые матрицы должны удовлетворять следующему условию: умножить матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то есть матрицы А и В должны иметь размерности  (m×n) и (n×k) соответственно. В результате такого перемножения получится матрица С с размерностью (m×k). Каждый элемент новой матрицы будет представлять собой “произведение” i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В. Деление (=умножение на обратную матрицу) Обратная матрица есть только у невырожденной матрицы, т.е. у той матрицы, определитель которой не равен нулю. У вырожденной матрицы(определитель=0) обратной матрицы не существует. Матрица обратная данной - это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица.

Условие обратной матрицы

Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно.

В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать.

Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) - записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца.

После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собой транспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя).

Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы:

Пусть дана матрица В:

Найдем ее определитель:

Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу.

Для этого найдем 9 дополнений:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца:

Теперь определим следующие три дополнения для второй строки:

И последние три для третьей строки:

Теперь составим обратную матрицу:

Вычитание (А-В=А+(-1)В)

вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо отнять соответствующие элементы двух матриц. Главное помнить, что вычитать можно только матрицы одинаковых размеров, т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Например, пусть даны две матрицы равного размера 2х3, т.е. с двумя строками и тремя столбцами:

Разность двух матриц:

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А;

2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + 0 = А;

4. А - А = 0;

5. 1 × А = А;

6. α × (А + В) = αА + αВ;

7. (α + β) × А = αА + βА;

8. α × (βА) = (αβ) × А;

, где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)^Т = В^ТА^Т; 7. (АВС)^Т = С^ТВ^ТА^Т; 8. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;

Вопрос 5. Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля ее миноров (строк). Обозначение: rank A.     Базисный минор матрицы - любой отличный от нуля минор порядка r = rank A. Пример:

Делим первую строку на 3.

Теперь вычитаем из второго и третьего столбца первый с коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно.

Вычитаем из второй и третьей строки первую с коэффициентами 2 и 1 соответственно.

и т.д. В итоге получим матрицу:

Следовательно ранг матрицы равен 3. Вопрос 6. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Ее нахождение. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам. Свойства обратной матрицы , где   обозначает определитель.

 для любых двух обратимых матриц A и B.

 где * T обозначает транспонированную матрицу.

 для любого коэффициента   .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Вопрос 7 Коллинеарные и компланарные векторы. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора   и вектора   является существование такого числа  , которое удовлетворяет равенству  . Условие коллинеарности двух векторов  и :

.

КОМПЛАНАРНОСТЬ

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов  

a = ( x, y, z ),  b = ( u, v, w )  и  c = ( p, q, r ) :