3.4. Зв’язок між системою та моделлю. Ізо- та гомоморфізм

Основними відмінностями між моделлю та дійсністю є скінченість, спрощеність та наближеність моделі.

Світ, в якому ми живемо, є нескінченим так само, як і будь-який об'єкт є нескінченним не лише в просторі та часі, але й у своїх зв'яз­ках з іншими об'єктами. Однак наші людські ресурси є обмеженими, а також зовнішні ресурси, які ми можемо залучати до певного проце­су теоретичної чи практичної діяльності. Виникає суперечність: необ­хідно пізнавати нескінченний світ за допомогою скінченних засобів.

І якщо щодо абстрактних моделей, які наділяються скінченною кількістю властивостей, цієї проблеми не виникає, то реальні моде­лі — це деякі матеріальні об'єкти, які є безмежними так само, як і всі інші реальні об'єкти. І в цьому виявляється різниця між самим об'єктом, та таким самим об'єктом, що використовується в якості моделі іншого об'єкта, тому що з безмежної множини властивостей об'єкта-моделі обираються та використовуються лише деякі власти­вості, що подібні на ті властивості об'єкта-оригінала, які цікавлять дослідника. Модель подібна до об'єкта-оригіналу скінченою кіль­кістю відношень — що й є аспектом скінченості реальних моделей.

Не кожне поняття відображає дещо безпосередньо існуюче — абстракція може бути ієрархічною, тобто існують не лише моделі реальних об'єктів, але й «моделі моделей», і кількість таких рівнів обмежується лише практичною потребою.

Скінченість моделей з необхідністю приводить до спрощено­сті моделей порівняно з оригіналом, тому що включення чи невключення певних властивостей та відношень в модель залежить насамперед від мети моделювання. Спрощення є сильним засобом виявлення головних ефектів у явищі, що досліджується.

Окрім того, спрощення моделі пов'язане з необхідністю оперу­вання з нею. Якщо не вистачає обчислювальної потужності, щоб визначити оптимальний випуск продукції в багатогалузевій еконо­міці за допомогою моделі міжгалузевого балансу, ми зменшуємо розмірність задачі, об'єднуючи в моделі декілька галузей в одну; не­лінійні залежності лінеаризуємо, представляючи їх кусочно-ліній-ними; випадкові змінні — детермінованими (наприклад, значення­ми математичних сподівань) і т. ін.

Окрім того, в моделюванні, як і взагалі в науці, діє принцип леза Оккама — з двох моделей, що однаково добре описують явище, за­звичай простіша виявляється ближчою до дійсної природи явища, що вивчається. Простота є глибинною властивістю світу, що нас оточує, яку дуже точно висловив український філософ Григорій Савич Сковорода (1722—1792): «Слава тобі, Господи, що Ти створив все потрібне нетрудним, а все трудне — непотрібним». Древні схоласти теж відзначали, що простота — це печать істини.

Інший фактор, що дозволяє долати безмежність світу в скінченному пізнанні — це приблизність відображення світу за допомогою моделей. Скінченність та спрощеність моделей теж можна інтерпретувати, як при­близність, але приблизність, на відміну від спрощеності та скінченності, що відображають якісні відмінності між оригіналом та моделлю, відобра­жає такі відмінності, що дозволяють кількісне (більше-менше), чи хоча б якісне (краще-гірше) порівняння. Близькість моделі може бути знач­ною порівняно з оригіналом (наприклад, підроблення мистецьких тво­рів відомих майстрів пензля), або ж незначною, але модель — це, без­заперечно, завжди інший об'єкт, а тому різниця між ними завжди існує.

Якщо за допомогою моделі досягається попередньо визначена ціль, то вона є адекватною до об'єкта, що моделюється. Поняття адекватності (відповідності) не співпадає повністю з вимогами пов­ноти, точності та істинності — адекватність означає, що ці вимо­ги виконані не взагалі чи у відповідності до певної абсолютної міри, а лише в тій мірі, яка достатня для досягнення мети мо­делювання. Якщо вдається ввести та обгрунтувати деяку міру адек­ватності моделі, то це суттєво сприяє покращенню моделі, і може бути сформульована задача знаходження «найадекватнішої» моделі, або ж найпростішої, що забезпечить заданий рівень адекватності.

Моделі є заміщувачами оригіналу завдяки подібності до нього. Існує 3 види подібності:

пряма, що встановлюється шляхом фізичної взаємодії; непряма, що встановлюється через аналогію, тобто через спільну абстрактну модель; умовна, що встановлюється шляхом певних домовленостей.

Моделі прямої подібності — здебільшого це масштабовані або в оригінальний розмір виконані копії оригіналів.

Непряма подібність між моделлю та оригіналом встановлюється не в результаті їх фізичної взаємодії, а об'єктивно існує в природі і виявляється в співпадінні чи достатній близькості їх абстрактних моделей, і після цього використовується в практиці моделювання. Значення цих моделей є великим для практики моделювання.

Моделі умовної подібності зустрічаються на кожному кроці, оскільки вони є способом матеріального втілення абстрактних мо­делей, формою у вигляді речей, в якій абстрактні моделі можуть пе­редаватися від однієї особи до іншої, зберігатися до певного момен­ту їх використання, і зберігати можливість повернення до абстракт­ної форми. Ця властивість реалізується угодою про те, які стани ре­ального об'єкта ставляться у відповідність певному елементу абстра­ктної моделі, і угода існує у вигляді сукупності правил побудови мо­делі умовної подібності і правил їх використання.

Кожна модель в чомусь правильно відображає оригінал, а ступінь істинності перевіряється шляхом безпосереднього співставлення мо­делі та оригіналу. Окрім безумовно істинного, в моделі є ще й те, що правильне за певних умов, а також те, що не стосується оригіналу.

Зв'язок між системою, що моделюється, і нашими знаннями про неї та моделлю ілюструється нижче. З цієї метою спочатку дамо ви­значення ізо- та гомоморфізму стосовно процесу моделювання.

Ізоморфізм — це співвідношення між системами тотожної структури. Між: елементами та відношеннями ізоморфних сис­тем існує взаємно однозначне відображення — кожному елемен­ту та відношенню однієї системи відповідає один і тільки один елемент (та відношення) іншої та навпаки.

Система S_a відображається гомоморфно в систему S_b, якщо кож­ному елементу та кожному відношенню (зв'язку) між елементами S_a відповідає один і лише один елемент та відношення (зв'язок) систе­ми S_b, але обернене твердження неправильне. Отже, S_b є гомоморфним образом системи S_a, яка називається прообразом.

Для опису взаємозв'язків між системою та моделлю використаємо властивість відносності та конкретності стосовно системи. Система S₁ — це первісна система, модель якої необхідно створити. На ґрунті процесу пізнання системи S₁ шляхом спостережень та (або) проведення обмежених експериментів над нею та попереднього досвіду в свідомості формується образ системи S₁— система S₂, тобто сукупність знань про систему. Відо­браження системи S₂ в систему S₂ неповне і має характер гомоморфізму.