Ускорение операции умножения

Арифметические операции, к числу которых относится умножение, часто встречаются при решении задач на ЭВМ. Умножение является длинной операцией. Временные затраты на умножение чисел в прямых кодах можно оценить по формуле

(3)

где p_i – вероятность появления единицы в разрядах множителя, t_сл – время формирования очередной частичной суммы, t_сдв – время выполнения сдвига числа на один разряд.

Анализируя выражение (3), можно предложить различные пути сокращения величины Т_умн : уменьшение времени на сдвиг, на формирование очередной суммы, уменьшение числа разрядов множителя. Этого можно достигнуть логическими или аппаратными методами. Рассмотрим логические методы ускорения умножения.

Один из наиболее простых способов состоит в том, чтобы при наличии нулевого разряда в множителе не выполнять формирование очередного (нулевого) частичного произведения, не изменяющего содержимое сумматора. В зависимости от используемого алгоритма умножения выполняется сдвиг либо частичной суммы, либо частичного произведения без выполнения суммирования.

Умножение с хранением переносов

Время, затрачиваемое на сложение двоичных чисел, состоит из времени, необходимого для поразрядного сложе­ния, и времени на формирование переноса

t_сл = t_ + t_пер.

Поразрядное сложение является элементарной опера­цией, и время на эту операцию может быть сокращено путем использования более бы­стродействующих элементов. В то же время если исключить необходимость вы­полнения межразрядных переносов при сложении, то время умножения уменьшится на t_пер. Переносы, формируемые при сложении, записываются в отдельный регистр. Содержимое этого регистра добавляется в сумматор вместе с очередым частичным произведением. При этом сложение может выполняться паралельно по всем разрядам. На последнем такте (при умножении на последний разряд множителя) сложение выполняется с учетом межразрядных переносов. В заключение следует отметить, что этот метод используется с алгоритмом A.

Пример: Мн = 0,1011

Мт= 0,1101

0,0000

0,0000 регистр переносов

⁺ 0,1011 = Мн  b₄

0,1011

0,0000 регистр переносов

0,0101 1  2^-1

⁺ 0,0000 = Мн  b₃

0,0101 1

0,0000 регистр переносов

0,0010 11  2^-1

⁺ 0,1011 = Мн  b₂

0,1001 11

0,0010 регистр переносов

0,0100 111  2^-1

⁺ 0,1011 = Мн  b₁

1,0001 111

0,1000 1111  2^-1

Умножение на два разряда множителя одновременно

Разбиение множителя на группы длиной k разрядов означает переход к новой системе счисления с основанием 2^k. Если при этом удается сократить количество элементарных действий, выполняемых при умножении (сложение и сдвиги), то сокращается время умножения. Остановимся более подробно на умножении на два разряда множителя за один такт (k=2). Это связано с анализом пар разрядов множителя.

Возможны четыре случая сочетания разрядов множителя: 00, 01, 10, 11. Умножение на каждую из пар разрядов множителя должно выполняться за один такт автоматного времени, то есть в каждом такте умножения должно выполняться не более одного сложения. Рассмотрим умножение на эти пары на примере алгоритма А.

В случае пары 00 необходимо выполнить только сдвиг частичной суммы на два разряда -  2^-2 .

Для пары 01 выполняется добавление множимого в сумматор с последующим сдвигом суммы на два разряда -  2^-2 .

При наличии пары 10 возможны следующие варианты действий:

a)  2^-2 , то есть в этом случае происходят два сложения, что противоречит требованию;

б)  2^-2, в этом случае требуется дополнительный регистр для хранения удвоенного Мн;

в)  2^-2, что соответствует добавлению к частичной сумме сдвинутого на один разряд влево множимого;

г)  2^-1, то есть частичная сумма сдвигается на один разряд вправо до и после добавления к ней множимого.

При умножении на пару 11 (к частичной сумме необходимо добавить утроенное множимое) ее можно представить в виде

11 = (2² - 1)

Мн ∙ 11= Мн∙(2² - 1) = Мн∙2²- Мн, то есть в текущем такте к частичной сумме добавляется множимое, взятое со знаком минус. Добавление Мн∙2² реализуется путем увеличения на единицу следующей старшей пары разрядов.

В табл.1 представлены правила преобразования множителя для системы (0,1,1).

Таблица 1

Анализируемая пара разрядов Мт	Перенос из предыдущей пары	Преобразованная пара
00	0	00
01	0	01
10	0	10
11	0	01
00	1	01
01	1	10
10	1	01
11	1	00

Пример: Мн = 0101

Мт = 11000111

Мт^п = 0101001001

Умножение будем осуществлять согласно алгоритму А.

[- Мн]_доп = 1.1011

2 Мн = 0.1010

0.0000

⁺ 1.1011 = Mн

1.1011

1.1110 11 ∙ 2^-2

⁺ 0.1010 = 2Mн

0.1000 11

0.0010 0011 ∙ 2^-2

0.0000 100011 ∙ 2^-2 ( ∙ 2^-4)

⁺ 1.1011 =-Mн

1.1011 100011

1.1110 11100011 ∙ 2^-2

⁺ 0.0101 = Mн

0.0011 11100011

0.0000 1111100011 ∙ 2^-2

Время умножения на два разряда множителя одновременно

Появление любой из рассматриваемых пар множителей равновероятно. Следовательно, время умножения на два разряда множителя может быть выражено следующим соотношением: = ( n/2 + 1) [0,75∙(t_сл + t_сдв) + (0,25∙t_сдв], где n – количество разрядов множителя.