Последовательное и параллельное сложение чисел

Параллельный способ передачи информации является более быстродействующим по сравнению с последовательным, но менее экономичным (требуется вместо одного проводника (и усилителя сигналов) n проводников).

В соответствии со способом приема/передачи информации устройства, обрабатывающие эту информацию, могут быть либо параллельного, либо последовательного действия.

Последовательный сумматор (рис. 3).

Сумматор – устройство, предназначенное для выполнения арифметического сложения чисел в двоичном коде. Простейший случай - это суммирование двух одноразрядных чисел.

T_c(посл)  n t, t-время задержки сигнала переноса на элементе задержки.

В этой схеме на входы x и y последовательно подаются попарно разряды слагаемых x_i и y_i. На выходе S формируются s_i разряды суммы. Триггер введен в схему для хранения значения переноса до следующего такта (следующей пары разрядов).

Параллельный сумматор (рис. 4).

Старший разряд Младший разряд

x_n SM S x₂ SM S x₁ SM S

. . .

y_n y₂ y₁

P P P

Рис. 4. Схема параллельного суммирования

Т_с(пар)  n_лэ .

Очевидно, T_c(посл) ≤ Т_с(пар), так как

t  (3,6) k_лэ ,

где k - коэффициент запаса, обеспечивающий полное окончание всех переходных процессов в сумматоре последовательного действия k  [1,2, 1,3].

Недостатком такого параллельного суммирования является большое время распространения сигналов переноса P_i. Параллельные безрегистровые сумматоры обеспечивают наибольшую скорость суммирования, если снабжены схемой ускоренного переноса.

Сложение чисел с плавающей запятой

При сложении чисел складываемые цифры (разряды) должны иметь одинаковый вес. Это требование выполняется, если складываемые числа имеют одинаковые порядки. Пусть имеются два числа с плавающей запятой:

A=m_Ar^p_A,

B=m_Br^p_B.

Алгоритм сложения чисел с произвольными знаками состоит в следующем.

1. Производится сравнение порядков p_A и p_B. Для этого из порядка числа A вычитается порядок числа B. Разность p=p_A-p_B указывает, на сколько разрядов требуется сдвинуть вправо мантиссу числа с меньшим порядком. Если p=p_A-p_B>0, то p_A>p_B и для выравнивания порядков необходимо сдвинуть вправо мантиссу M_B. Если p=p_A-p_B<0, то p_B>p_A и для выравнивания порядков необходимо сдвинуть вправо мантиссу M_A. Если p=p_A-p_B=0, то p_A=p_B и порядки слагаемых выравнивать не требуется.

2. Выполняется сдвиг соответствующей мантиссы до тех пор, пока p≠0.

3. Выполняется сложение мантисс M_A и M_B по правилу сложения правильных дробей.

4. Если при сложении мантисс произошло переполнение, то производится нормализация путем сдвига мантиссы суммы вместе со знаковым разрядом вправо на один разряд с увеличением порядка на единицу. Если же происходит денормализация, то выполняется сдвиг мантиссы результата на соответствующее количество разрядов в сторону, противоположную нарушению нормализации с соответствующим изменением порядка суммы.

Пример: М_А=-0,10110 р_А=+0111

М_В=-0,11011 р_В=+0101

[M_A]_доп=1,01010 p= [р_А]_доп+[-р_В]_доп= 0.0111

[M_B]_доп=1,00101 ⁺ 1.1011

10.0010

Так как [р_А-р_В]_доп>0, то сдвигу подвергается мантисса М_В.

В рассматриваемом примере при каждом сдвиге мантиссы на один разряд из положительной разности порядков производим последовательное вычитание единицы до тех пор, пока в результате не будет получен ноль. При этом выполняется анализ разности порядков на каждом шаге. Если она отлична от нуля, то производится очередной сдвиг соответствующей мантиссы. В случае если разность [р_А-р_В]_доп<0, необходимо либо прибавлять единицу до нулевого результата, либо изменить знак разности на противоположный и, как и выше, выполнять вычитание единицы.

[M_B]_доп=1,00101 0.0010

[-1]_доп= 1.1111

[M_B]_доп=1,10010 1 0.0001

[M_B]_доп=1,11001 01 [-1]_доп= 1.1111

0.0000

[M_B]_доп=1,11001 01

[M_A]_доп=1,01010

11,00011 01 = [М_А+В] р_А+В=max(р_А,p_B)=p_A=+0.0111

Полученный результат нормализован. После выполнения операции округления получим [М_А+В]= 1,00011.