2.6. Действия с матрицами

Важным типом данных в системе MathCAD являются массивы. Массив – имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных заданным образом и имеющих определенные адреса. В системе MathCAD используются массивы двух типов: одномерные (векторы) и двумерные (матрицы).

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD.

Для того, чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (<Shift + :>). Затем щелкните мышью по кнопке в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами. Откройте щелчком мыши по кнопке окно диалога Вставить Матрицу (Insert Matrix) (см. рис. 2.1); определите число Строк (Rows) и Столбцов (Columns), после чего закройте окно, щелкнув по кнопке ОК.

Рис. 2.1. Открытие панели Матрицы

и вставка матрицы заданных размеров

В рабочем документе справа от знака присваивания откроется поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор мыши в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Фрагмент рабочего документа, соответствующий процессу ввода матрицы, приведен ниже:

Большинство операций с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнить тремя способами: с помощью панели инструментов, выбором операций в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов (см. рис. 2.1). Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть мышью в панели по соответствующей кнопке.

Меню символьных операций с матрицами (см. рис. 2.2) содержит три функции: Транспонирование (Transpose), обращение матрицы – Инвертирование (Invert) и вычисление определителя матрицы – Определитель (Determinant).

Рис. 2.2. Меню символьных операций с матрицами

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи используется нумерация с 1, для удобства можно определять значение ORIGIN равным 1, т.е. перед работой с матрицами выполнять команду ORIGIN:=1.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом, что рассмотрено в следующих примерах.

Пример 2.6.1. Даны матрицы

А= и В= .

Вычислить:

а) С = 3 + А b) С = 2·В c) С = А + В

d) С = В·А e) С = А·Е (Е – ед.матр.) f) С = В²

Выполнение: введите матрицы А и В так, как это описано выше. Запишите производимые действия, как показано ниже на фрагменте рабочего документа. Для отображения матрицы-результата используйте кнопку панели Символы (Symbolics). Для создания единичной матрицы порядка п используется функция identity(n), которая вводится с клавиатуры.

Пример 2.6.2. Дана матрица А = . Найти ей обратную.

Выполнение: определите в рабочем документе MathCAD матрицу А. Вычисление обратной матрицы возможно, если матрица квадратная, и ее определитель не равен нулю. Поэтому сначала необходимо найти |А|. Для этого используется кнопка панели Матрицы (Matrix). Для нахождения обратной матрицы используйте на панели Матрицы (Matrix) кнопку . Результаты всех описанных действий показаны на следующем фрагменте документа:

Пример 2.6.3. Транспонировать матрицу .

Выполнение: введите в свободном месте рабочего документа матрицу М. Для транспонирования данной матрицы используйте кнопку на панели Матрицы (Matrix). Решение поставленной задачи двумя способами показано далее на фрагменте рабочего документа.

или

Пример 2.6.4. Дана матрица S= . Найти ей обратную.

Выполнение: для определения символьной матрицы введите с клавиатуры ее имя, символьный знак равенства (сочетание клавиш <Ctrl + =>), определите размер матрицы и введите ее элементы.

Символьные операции с матрицами (транспонирование, вычисление определителя и обращение) выполняются через меню символьных операций Символы (Symbolics). Заключите символьную матрицу в выделяющую рамку при помощи клавиши <Space>. Затем для нахождения определителя матрицы выберите в меню Символы (Symbolics) и пункте Матрицы (Matrix) операцию Определитель (Determinant). Чтобы упростить выражение для определителя матрицы, выделите его уголковым курсором и выберите пункт Упростить (Simplify) в меню Символы (Symbolics) или нажмите кнопку на панели Символы (Symbolics). На показанном ниже фрагменте документа видно, что определитель исходной матрицы не равен 0, значит, обратная матрица существует.

Для нахождения обратной матрицы выделите исходную уголковым курсором и выберите в меню Символы (Symbolics) и пункте Матрицы (Matrix) операцию Инвертирование (Invert). Чтоб упростить полученный результат, воспользуйтесь функцией Simplify. Результаты нахождения обратной матрицы и ее упрощения показаны на следующем фрагменте документа MathCAD: