3.3. Скалярное произведение векторов

Проекцией вектора на ось называется длинна отрезка (АВ) между основаниями перпендикуляров, опущенных из конца и начала вектора на ось , причем эта длинна берется со знаком «+», если АВ совпадает с направлением оси, иначе со знаком «–». Аналогично – проекция одного вектора на другой – скаляр.

Свойства проекций:

1. Проекция равна 0, если .

2. При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.

3. (знак регулируется знаком косинуса).

4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции: .

5. Проекция суммы равна сумме проекций: .

Скалярное произведение векторов и равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: – скаляр. Иначе: . Пример из физики: , А – работа, – сила, – перемещение.

Свойства скалярного произведения:

1. Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть , , α = 90⁰. Если , то и тоже перпендикулярны.

2. , так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

3. Перестановочный закон: .

4. Распределительный закон: .

5. .

Пример:

.

3.4. Векторное произведение векторов

Пусть дана тройка некомпланарных векторов с общим началом, причем – первый вектор, – второй, – третий. Такая тройка называется правой, если поворот от к осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Тройка называется левой, если поворот от к осуществляется по часовой стрелки. Если – правая, то – левая.

При циклической перестановке «смысл» тройки не меняется: если – правая тройка, то – правая, и – правая.

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:

1. , – угол между векторами – это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

2. и ;

3. упорядоченная тройка , , – правая.

Свойства:

1. если , то и ;

2. – S не меняется, меняется направление;

- если сторону параллелограмма увеличить в раз, то S тоже увеличится в раз;

3. .

Эти свойства дают возможность раскрывать скобки. Например:

4. Имеем: , , , , , , . Тогда если , то – это выражение векторного произведения через координаты векторов.

3.5. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора: , , . Тогда смешанное (или векторно-скалярное) произведение – – скалярная величина, т.е. первые два вектора умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор.

Геометрический смысл – – объем параллелепипеда, построенного на векторах , которые образуют правую тройку. Если тройка левая, то .

Свойства:

1. – при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется (не меняется параллелепипед).

2. – знак меняется при перестановке двух сомножителей.

3. , когда компланарны. Действительно, параллелепипед выражается чисто в плоскость и .

4. . Это выражение смешанного произведения через координаты векторов.

5. Векторы компланарны, если . Обычно смешанное произведение обозначают .

.