Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Глава 1. Матрицы и определители

1.1.Понятие матрицы

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется матрицей. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами, например: . Числа m и n называются порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n , иначе – прямоугольной. Числа , входящие в состав матрицы, называются ее элементами, причем i – номер строки, j – номер столбца.

Строчная матрица имеет размер , а столбцовая матрица – .

Матрица , полученная из матрицы А заменой в ней строк на столбцы с сохранением порядка их следования, называется транспонированной. Очевидно, что .

Главная диагональ квадратной матрицы – воображаемая прямая, проходящая через элементы с одинаковыми индексами из левого верхнего в правый нижний ее угол. Эти элементы – диагональные. Побочная диагональ – прямая, идущая из правого верхнего в нижний левый угол матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0 , называется диагональной. Среди диагональных элементов может быть и нулевые.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, например: – единичная матрица третьего порядка.

1.2. Основные операции над матрицами

Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все соответствующие их элементы совпадают.

Произведением матрицы А размером на действительное число называется матрица С размером , элементы которой равны .

Умножение матриц на число обладает следующими свойствами: .

Суммой двух матриц А и В размером называется матрица С, элементы которой равны .

Очевидно, что сложение матриц обладает следующими свойствами:

.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца В: .

Произведение матриц имеет смысл в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. В общем случае АВ ВА, т. е. произведение некоммутативно.

Свойства произведения матриц:

1. АЕ=ЕА=А (единичная матрица Е– как 1 при умножении чисел);

2. (АВ)С=А(ВС) – ассоциативно;

3. (А+В)С=АС+ВС дистрибутивный закон.

Пример 1.1 . Найти , . ;

.

Очевидно, что .

1.3. Определители второго и третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: .

Каждой такой матрице поставим в соответствие определенное число, называемое определителем этой квадратной матрицы. Если порядок равен единице, то матрица состоит из одного числа, и определителем первого порядка назовем величину этого элемента. Если порядок матрицы равен двум, т.е. , то определителем второго порядка назовем число, равное и обозначаемое следующим образом: .

Например,

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка назовем число, равное:

Например, .