3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис

Линейная комбинация векторов. Пусть даны векторы . Тогда всякий вектор, имеющий вид , где – некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы .

Данные векторы называются линейно-зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные, в противном случае – эти векторы линейно независимые.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, если они коллинеарны друг другу. Из определения умножения вектора на число следует: если , то . Наоборот, если два вектора параллельны, то любой из них можно растянуть во столько раз, чтобы получить другой.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной плоскости).

Доказательство:

Пусть . Отнесем все три вектора к одному началу и проведем через и плоскость (Р). Тогда векторы и будут лежать в плоскости Р и их сумма – вектор тоже будет лежать в плоскости Р. Значит, компланарны плоскости Р.

Наоборот, пусть параллельны плоскости Р. Если их отнести к одному началу, то все они будут лежать в плоскости Р. Если не параллелен , то можно представить в виде линейной комбинации и . Это разложение вектора в плоскости по двум некомпланарным векторам.

Четыре или более векторов всегда линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть даны . Отнесем их к одному началу. Если после этого лежат в одной плоскости, то они линейно зависимы. Если некомпланарны, то проведем через D (конец ) прямую, параллельно до пересечения с плоскостью векторов и в точке С. Через С – прямую, параллельную до пересечения с прямой, на которой лежит в точке В. Тогда – разложение вектора по трем некомпланарным векторам (разложение вектора по трем осям), что можно осуществить единственным образом.

Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить два неколлинеарных вектора, в пространстве – три некомпланарных вектора.

Пусть – базис, – произвольный вектор, тогда , где –координаты вектора в базисе векторов .

Обычно выбирают ортонормированный базис, в котором векторы ортогональны (перпендикулярны) и каждый вектор имеет единичную длину. В этом случае базисные векторы называют ортами и обозначают .

Декартовы координаты в пространстве

В качестве базиса декартовых координат выбрали три вектора единичной длины (орты), которые взаимно перпендикулярны и отнесены к общему началу в точке О, принятой за начало координат. Положение произвольной точки М в пространстве полностью характеризуется вектором , называемым радиус-вектором точки М.