2.7. Матричные уравнения

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Введём обозначения:

, , , тогда данную систему можно записать в матричном виде . Умножим это уравнение на обратную матрицу А^-1 слева (считаем, что определитель матрицы системы не равен 0). Тогда: ,

. Это формула для решения уравнения (2.1) с помощью обратной матрицы.

Если в уравнении все три матрицы являются квадратными, причем , тогда решение .

Рассмотрим матричное уравнение вида . Имеем ; .

Пример 2.4. Решить систему примера 2.1 матричным способом (способом обратной матрицы).

Матрица системы , матрица неизвестных , матрица свободных членов .

Найдем обратную матрицу . вычислим алгебраические дополнения: ; ; ; ; ; ; ; ; . Тогда решение системы определены по формуле :

, т.е. .

Пример 2.5. Решить уравнение . Пусть , , тогда Вычислим ; имеем: .

Глава 3. Векторы

3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (работа, температура, плотность и т.д.). векторы кроме численного значения, обладают направлением в пространстве. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор может обозначаться одной буквой: . Длиной (модулем) | | вектора называется число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . | | = 0, направление произвольно. Если = , то вектор называют противоположным к вектору и обозначают – . Очевидно, что +(- ) = .

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат и перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора будем называть координаты его конечной точки: .

Модуль вектора : .

Линейные операции над векторами.

Пусть заданы векторы и Линейными операциями называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на скаляр. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма:

+ = , ={а_x+ , a_y+ , a_z + }. Чтобы построить сумму векторов , …, , нужно к концу вектора приложить вектор , к концу вектора приложить вектор и так далее до . Тогда суммой + + … + будет вектор, идущий из начала в конец вектора .

Вычесть какой-нибудь вектор – значит прибавить противоположный, т.е. – = + (– ).

Умножение вектора на (скаляр) число : = λ , .

Если λ > 0, то полученный вектор – это вектор, получающийся из растяжением в λ раз без изменения направления. Если λ < 0, тогда следует растянуть в | λ | раз и изменить направление на противоположное.

Свойства:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. .