6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Функция определена в точке x₀.

2. Функция имеет конечный предел при x→x₀ и этот предел равен значению функции в точке x₀, т.е. .

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

В противном случае х₀ – точка разрыва.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.

Свойства непрерывной функции

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и достигает на этом отрезке наибольшего значения М и наименьшего значения m.

2. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимают значение разных знаков, то имеется a<c<b, для которой f(c)=0.

6.10.Классификация точек разрыва

Точка х называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной.

Точки разрыва можно разделить на два типа:

1. Разрыв 1 рода. Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечные пределы слева и справа , не равные между собой, то в точке будет разрыв первого рода, т.е. , , но .

2. Разрыв 2 рода. В точке х₀ нет одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

– точка разрыва 2 –го рода.

Раздел III. Дифференциальное исчисление

Глава 7. Производная и дифференциал

7.1. Физический и геометрический смысл производной

Геометрический смысл

– тангенс угла наклона секущей.

, если , то секущая переходит в касательную: . Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Физический смысл

Пусть - закон движения математической точки, т.е. зависимость пути y от времени t. За время t пройден путь , а за .

Отношение – средняя скорость движения; мгновенная скорость .

В общем, для любой функции – средняя скорость изменения y относительно изменения x, – мгновенная скорость изменения y при некотором x. С помощью производной можно оценить скорость изменения связанных величин.

7.2. Определение производной. Свойства

Пусть дана функция , возьмем значение аргумента x и зададим ему приращение , это вызовет приращение функции .

Производная: , т.к. при различных значениях x производная различна, – функция аргумента x, т.е. .

Пример. Вычислим производную . Пусть x получил приращение , тогда ; ; ; т.е. .

Свойства производной

1. Производная , , , .

Пусть и – две функции, имеющие производные.

2. ;

= = .

3. = = = , т.е. .

3.а. .

4. .

7.3. Производная сложной и обратной функций

Сложная функция

Пусть задана функция и функция , тогда называется сложной функцией.

Пример. ; ; ; ; ; и т.д.

Пусть эти функции – дифференцируемые. Пусть x получил приращение , тогда функции и получают приращение и . Рассмотрим . Перейдем к пределу (если , то ): .

Обратная функция

Пусть , будем считать y за аргумент, а x – за функцию. Тогда – обратная функция, может быть многозначной.

-обратная, – двузначная функция и т.д.

Если – монотонная функция, то существует непрерывная обратная функция . . Перейдя к пределу: или .

Геометрический смысл

(и оси OX)

(и оси OY)

,