Раздел II. Введение в математический анализ

Глава 5. Функции

5.1. Понятие множества. Логическая символика

Множество – любая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Примеры множеств – множество студентов академии, факультета, набор трех уравнений, множество всех целых чисел.

Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы – строчными; – х элемент множества X; – x не является элементом множества X. – множество Х состоит их элементов .

Пусть Х и Y – два множества. Если они состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, то есть Х=Y. Если каждый элемент множества Х является элементом множества Y, то (Х содержится в Y) и Х – подмножество Y.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым .

Пусть Х – множество, имеющее свойство Р(х), тогда обозначает совокупность тех элементов Х, которые обладают свойством Р(х).

Объединением множеств А и В называется множество .

Пересечением множеств А и В называется множество .

Разностью множеств А и В называется множество .

Верхняя и нижняя границы множества.

Говорят, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число С такое, что для любого выполнено . С – верхняя (нижняя) грань множества Х. С=sup X – верхняя, C=inf X – нижняя.

Логическая символика.

Пусть - некоторые утверждения. Тогда – не , то есть отрицание утверждения .

- из следует ; – эквивалентно ;

- и - конъюнкция; – или – дизъюнкция;

для всякого элемента истинно утверждение . ( – квантор всеобщности);

существует элемент такой, что для него истинно утверждение . ( – квантор существования).

Принцип математической индукции: .

Числа.

Натуральные числа 1, 2,3,…- N.

Целые числа – Z, Z₀ –множество всех неотрицательных чисел (и 0).

Q – множество рациональных чисел, x = m/n.

I – множество иррациональных чисел

R – множество действительных (вещественных) чисел, числовая прямая.

Модуль: .

Если , то ; это называются – окрестностью точки .

5.2. Понятие функции. Основные свойства функции

Часто приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. При изменении движения путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от времени. Путь – функция времени. Если радиус круга R принимает различные значения, то площадь тоже будет принимать различные значения. S – функция R. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция . х – независимая переменная, y—зависимая переменная.

Частные значения получаются, если аргументу х придавать частные значения. Пусть у = х², при х=2 будет у=4, при х = –0,6 у=0,36 и так далее.

Запись у(х)=4; у(-0,6)=0,36. Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.

Способы задания функции

Три основных способа – аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ состоит в том, что зависимость задается в виде формулы, указывающей, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции .

2. Табличный способ заключается в том, что в определенном порядке записываются значения х и соответствующие значения у. Конечное число аргументов.

3. Графический способ часто используется в практике физических измерений. Аргументы – абсциссы, функция – ординаты. Следовательно, график F(x) – множество точек плоскости.

Рассмотрим основные свойства функции

1. – функция чётная, – функция нечётная.

Если функция не является ни чётной, ни нечётной, то говорят, что функция общего вида.

2. Монотонность.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента из множества X соответствует большее значение функции ( , то ).

Функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( , то ).

3. Ограниченность.

Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число , что для любого .

4. Периодичность.

Функция f(x) называется периодической с периодом , если выполняется равенство .