4.9. Окружность
Окружность- это геометрическое место
точек, каждая из которых отстоит от
центра (О) на одинаковом расстоянии r.
Пусть (•) М (x;y)
– текущая.
Центр окружности: (•) О (a,b).
4.10. Эллипс
Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).
Пусть
,
тогда
.
;
.
,
,
.
:
;
;
;
.
Вводим
,
(a>c),
;
-
каноническое уравнение эллипса.
Эллипс симметричен относительно осей
OX и OY
(x2 и
y2).
x=0,
y=b: (•)B (0;b);
y=0, x=a:
(•)A (a;0).
A, B, A*,
B* –
вершины эллипса, О – центр эллипса.
большая полуось,
малая полуось.
Эксцентриситет – отношение расстояния
между фокусами к длине его большой
оси:
;
;
.
Для окружности a =
b и ε = 0, чем
больше ε,тем больше эллипс вытянут.
Параметрические уравнения эллипса:
;
.
Эллипс получается при сечении цилиндра и проекция окружности на плоскость.
4.11. Гипербола
Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина, взятая по модулю и меньше расстояния между фокусами.
F1 и F2-фокусы,
F1F2=2c.
Пусть (•) М (x;y)-текущая.
или, 2a<2c,
т.о. a<c.
;
;
;
– каноническое уравнение гиперболы;
;
x=0; 
,
y=0, x=a
– вершина. Прямые 
– асимптоты.
M
F2
(c,0)
F1
(-c,0)
X
Y
0
b
Y
F1
X
F2
a
Прямые
– асимптоты.
Эксцентриситет – отношение расстояния
между фокусами гиперболы к расстоянию
между ее вершинами,
,
характеризует форму гиперболы.
.
Гипербола может иметь уравнение
,
тогда ее график имеет вид:
4.12. Парабола
Парабола – геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки – фокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не проходит через фокус). Фокус F, расстояние от F до директрисы равно p – параметр параболы. Начало координат – посередине между F и директрисой.
,
,
.
Парабола симметрична относительно ОХ.
х=0, у=0. (у2<0),
.
Пусть х=1, тогда
.
Длина хорды параболы, проведенной
перпендикулярно оси, равна
.
p характеризует
«ширину» области, ограниченной параболой.
Полярное уравнение
определяет эллипс
,
параболу
и ветвь гиперболы
.
,
r
M
Y
d
Q
p\2
F (p\2,0)
X
0
y
x
y
x
y
x
Y
2
X
-3
Пример:
– гипербола с центром в точке C
(2,–3)