4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим величину , μ – нормирующий множитель. Умножим обе части общего уравнения плоскости на μ. Получим . Коэффициенты при x, y, z являются направляющими косинусами вектора нормами плоскости: , , , где α, ß, γ – углы, которые нормаль образует с координатными осями.

Обозначим . Получим – нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть уравнение плоскости Р : Ax + By + Cz + D = 0, дана (∙) , которая не принадлежит плоскости. Тогда . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, следует подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора , т.е. на нормирующий множитель μ. Для определения расстояния от точки до плоскости можно пользоваться нормальным уравнением плоскости. В этом случае .

4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями

Пусть точки лежат в плоскости Р и точка – любая точка плоскости. Тогда , , лежат в одной плоскости и являются компланарными. Условие компланарности: равенство нулю смешенного произведения: , т.е.

—уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Взаимное расположение 2-х плоскостей

Пусть плоскости Р₁ и Р₂ заданы общими уравнениями , . Соответственно векторы и этих плоскостей , . Угол между плоскостями равен углу между нормалями, который можно найти по формуле , .

Плоскости параллельны, если || , следовательно .

Плоскости перпендикулярны, если .

4.7. Прямая в пространстве

В общем случае прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения 2-х плоскостей:

Канонические уравнения прямой

Пусть (∙) М₀ (x₀; y₀; z₀) – точка лежащая на прямой; , где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора параллельного данной прямой. М (x; y; z) – текущая точка. , получаем уравнение – канонические уравнения прямой.

Чтобы перейти от общего уравнения прямой к каноническому, в качестве точки М₀ берут любое решение системы, направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение векторов нормалей × .

. Если направляющий вектор прямой задан точками M₁, M₂, то можно записать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки , : .

Угол между прямыми

Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны направляющие векторы каждой прямой: , .

Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами: .

Если прямые параллельны, то и .

Если прямые перпендикулярны, , то =0 и = 0 – условия перпендикулярности прямых.

4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть дана прямая и плоскость .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: = t и выразим x, y, z через параметр t: – параметрические уравнения прямой.

Если прямая параллельна плоскости α, то направляющий вектор прямой (нормальному вектору плоскости), т.е. , .

Если координаты точки М₀ (x₀; y₀; z₀) удовлетворяют уравнению плоскости, то прямая l принадлежит плоскости. Если , то прямая перпендикулярна плоскости, т.е. – условие перпендикулярности плоскости и прямой.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, уравнение прямой необходимо записать в параметрическом виде и подставить в уравнение плоскости из полученного равенства находим параметр t и подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой, определяем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Угол φ – угол между прямой и плоскостью определяется следующим образом – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Если между векторами и острый угол, то , или – угол между прямой и плоскостью.

Кривые на плоскости