Перевод числовой информации из одной позиционной системы в другую
В процессе преобразования информации в цифровом автомате возникает необходимость перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Это обусловлено тем, что в качестве внутреннего алфавита наиболее целесообразно использовать двоичный алфавит с символами 0 и 1.
Первым два символа для кодирования информации применил известный философ XVII в. Ф. Бэкон, который использовал символы 0, 1.
Рассмотрим
задачу перевода чисел в общей постановке.
В соответствии с (3) числа в разных
системах счисления можно представить
следующим образом:
(6)
В общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q1 в систему счисления с основанием q2 можно представить как задачу определения коэффициентов bi нового ряда, изображающего число в системе с основанием q2. Решить эту задачу можно подбором коэффициентов bi. Основная трудность при этом заключается в выборе максимальной степени, которая еще содержится в числе Аq1 . Все действия должны выполняться по правилам q1 -арифметики, т. е. по правилам исходной системы счисления.
После нахождения максимальной степени основания проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. Каждая из отмеченных степеней может «входить» в ряд не более q2 -1 раз, так как для любого коэффициента ряда накладывается ограничение:
(7)
Прием, использованный в примере 1 (приложение 3, пример 1), может быть использован только при ручном переводе. Для реализации машинных алгоритмов перевода применяют следующие методы.
Перевод целых чисел делением на основание q2 новой системы счисления
Ц
елое
число Аq2 в системе с
основанием q2 записывается
в виде
Этот способ применяют только для перевода целых чисел.
Смотреть примеры 2,3 в приложении 3.
Перевод правильных дробей на основание q2 новой системы счисления
При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода (получено требуемое количество разрядов результата). Последнее означает, что при переводе дроби необходимо указать количество разрядов числа в новой системе счисления. Естественно, что при этом возникает погрешность перевода чисел, которую надо оценивать. Примеры перевода находятся в приложении 3 (примеры 4, 5)
Перевод неправильных дробей на основание q2 новой системы счисления.
Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q2. (см. пример 6 в приложении 3)
Табличный метод перевода
В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.
Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 -арифметики. Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.
Примеры перевода чисел подобным способом на практике рассматриваются мной в примерах 7-8 (приложении 3).