Вопросы для самопроверки:

1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии?

2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме?

3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник» существуют в учебно-методической литературе?

4. Какую методическую схему изучения темы «Четырехугольники» можно составить?

5. Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма?

6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств.

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии.

План.

1. Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе.

2. Методические особенности изложения отдельных вопросов.

3. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач.

Содержание лекции:

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н. Колмогоровым. В его курсе геометрии (1968-1980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Роль материала:

1. Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

2. Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

3. Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

4. Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

5. Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

4. Упражнения на распознавание.

5. Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Умения:

1. Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

2. Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

3. Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

4. Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

1. подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы:

1. Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом.

2. Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.