Билет №2
А) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.
Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.
рис.1.
Из определения следует,
что угол наклона 
прямой
L к оси Ох может изменяться от нуля
до 
: 
.
Если прямая 
,
то 
.
Пусть
(1)
– общее
уравнение прямой L, где 
–
нормальный вектор прямой L и 
.
Тогда 
и 
(см.
рис.1). Выразим у изуравнения (1)
.
, 
.
Уравнение прямой L принимает вид:
.
Определение. Уравнение прямой вида
(2)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом
угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:
.
(3)
Доказательство.
1) Если прямая
,
то
и 
.
С другой стороны, ее нормальный
вектор 
и 
.
Тогда 
и,
следовательно,
,
ч.т.д.
2)
Пусть 
,
тогда 
, 
и 
.
Пусть F – точка пересечения прямой L
с осью абсцисс.
Тогда
, 
.
Опишем
окружность единичного радиуса с центром
в точке F , а в точке оси Ох с
координатой 
проведем
касательную m к этой окружности. См.
рис.2.
рис.2.
Выберем
положительное направление на прямой
m, так, чтобы 
.
Тогда ось m является осью тангенсов
для данной единичной (тригонометрической)
окружности.
Пусть
Р – точка пересечения прямой L
с осью тангенсов
m. Тогда, с одной стороны, 
,
где
– угол наклона
прямой L к оси Ох, а, с другой стороны,
точка 
и 
,
откуда и следует равенство 
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Заметим,
что приведенное доказательство
принадлежит автору этих лекций.
Достоинством этого доказательства
является то, что оно не зависит ни от
величины угла наклона 
,
ни от величины коэффициента 
.
В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).
Угловой коэффициент равен k=(y2-y1)/(x2-x1), а само уравнение прямой: y=y1+k(x-x1).
2) ?!
БИЛЕТ №3
Взаимное расположение двух плоскостей в порстранстве
Параллельные плоскости
Получим
условия параллельности или совпадения
двух плоскостей 
и 
заданных
общими уравнениями:
(4.23)
Необходимым
и достаточным условием параллельности
или совпадения плоскостей (4.23) является
условие коллинеарности их
нормалей Следовательно,
если плоскости (4.23) параллельны или
совпадают, то 
т.е.
существует такое число
что
и наоборот.
Плоскости
совпадают, если помимо этих условий
справедливо 
Тогда
первое уравнение в (4.23) имеет вид 
т.е.
равносильно второму, поскольку 
Таким
образом, плоскости
(4.23) параллельны тогда и только тогда,
когда соответствующие коэффициенты
при неизвестных в их уравнениях
пропорциональны, т.е. существует такое
число 
что 
но 
Плоскости
(4.23) совпадают тогда и только тогда,
когда все соответствующие коэффициенты
в их уравнениях пропорциональны:
и
Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде
Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):
или