3.2. Объекты изучения логики.

Объектами изучения логики являются формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства предметов. Т.к. язык является формой выражения мысли, то в языке термину “понятие” соответствует “слово”. Но человек не мыслит отдельными понятиями. Выражая свои мысли, он составляет слова в предложения. Предложение в языке есть суждение в мыслях.

Суждение (высказывание) – есть мысль (выраженная в форме повествовательного предложения), в которой нечто утверждается о предмете действительности, которая объективно является либо истинной, либо ложной. К числу суждений не относятся мысли, не имеющие значения истинности..

6) Законы идемпотентности:

А Ú А = А – отсутствие коэффициентов;

А Ù А = А – отсутствие степеней.

7) Законы коммутативности:

А Ú В = В Ú А,

А Ù В = В Ù А

8) Законы ассоциативности:

А Ú (В Ú С) = (А Ú В) Ú С,

А Ù (В Ù С) = (А Ù В) Ù С

9) Законы дистрибутивности:

А Ú (ВÙС) = (АÚВ) Ù (АÚС) – дизъюнкции относительно конъюнкции;

А Ù (ВÚС) = (А Ù В) Ú (А Ù С) – конъюнкции относительно дизъюнкции.

10) Законы поглощения:

А Ú А Ù В = А

А Ù (А Ú В) = А

11) Законы де Моргана:

¬(А Ú В) = ¬ А Ù¬ В – отрицание вариантов;

¬(А Ù В) = ¬А Ú ¬В – отрицание одновременной истинности.

Здесь в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот. Пример:

«Неверно, что я знаю Pascal или Basic» тождественно тому, что «Я не знаю Pascal и не знаю Basic».

• Кодирование информации

• Информация хранится, обрабатывается, передается в виде данных.

• В памяти компьютера все данные представлены в виде двоичных кодов.

• Кодирование – это преобразование одной формы представления информации в другую.

Рассмотрим основные понятия этого процесса.

• Язык и алфавит

• Язык – это система символов и правил, используемых для кодирования, отображения и передачи информации.

• Язык характеризуется: алфавитом, синтаксисом и семантикой.

• Алфавитом называют конечный набор различных символов, используемых для составления языковых конструкций: слов, фраз, текстов.

• Алфавит может быть:

• - цифровой (все цифры данной системы счисления);

• - буквенный (алфавит естественного языка);

• - алфавит устройства (все различимые устройством сигналы),

• - алфавит языка программирования и пр.

• Синтаксис – это правила образования языковых конструкций.

• Семантика – это смысловое содержание, передаваемого языком сообщения.

• Если каждое слово в языке имеет только один смысл и однозначно заданы правила построения языковых конструкций, то такой язык называют формальным. Формальными являются все языки программирования.

• Системы счисления

• Система счисления – это совокупность символов и правил для обозначения чисел и счета, т.е. способ кодирования числовой информации.

• Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

• В позиционных системах вес цифры зависит от ее положения (позиции). Например, в арабской системе: в числе 333 вес соседних позиций различается в 10 раз.

• В непозиционных системах вес цифры не зависит от позиции в числе.

Так, в римской системе ХХХII (тридцать два) - вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

• В любой системе используют символы, называемые базисными числами, а остальные числа получают путем каких-либо операций с базисными. Системы счисления отличаются выбором базисных чисел и правилами образования остальных. Базисные числа римской системы:

• Римская система аддитивная, т.е. другие числа получают сложением и вычитанием базисных. Если цифра слева меньше цифры справа, то левая вычитается из правой, если наоборот, то цифры складываются.

• Пример: число 146 → C XL VI

• Римская система - непозиционная, аддитивная.

.

• Десятичная система счисления

• Десятичная система счисления – позиционная. Вес соседних позиций в числе различается в 10 раз.

Пример: число 343,2 343,2 = 3*10² +4*10¹ +3*10⁰ + 2*10^-1 .

• Число, показывающее, во сколько раз различается вес цифр в соседних разрядах, называют Основанием позиционной системы счисления. Оно совпадает с количеством различных символов, используемых для изображения цифр. В десятичной системе десять цифр - 0, 1, 2, ..., 9.

• Таким образом, запись числа А в позиционной системе счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения (полинома):

• где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

• Запись чисел в различных системах счисления

• В таблице представлены числа в десятичной, двоичной; восьмеричной и шестнадцатеричной системах.

• Для перевода целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего зультата.

• Примеры

• Перевод числа 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

• т.е. 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

• Перевод правильной десятичной дроби

• При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения.

• Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножают до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю (это точный перевод), или до заданной точности.

• Пример. Перевод числа 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

т.е. 0,35₁₀ ≈ 0,01011₂ ≈ 0,263₈ ≈ 0,599₁₆ .

• Представление в компьютере целых чисел

Используя двоичную систему счисления, в одном байте (8 разрядах) можно хранить любое число в диапазоне от 0 до 255 (от 00000000 до 11111111). В m разрядах – 2^m чисел.

• В компьютерной технике применяют несколько форм записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

• Последние две формы применяются особенно широко.

• Положительные числа в этих кодах изображают одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

• Представление отрицательных чисел

• В прямом коде. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части — двоичный код абсолютной величины числа:

• Обратный код. В цифровой части числа нули заменяются единицами, а единицы — нулями:

• Дополнительный код. Получается из обратного кода прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

• В последней таблице отсутствует двоичный код, представляющий число 4. Это значит, что в трехразрядном дополнительном коде невозможно решение задачи «два плюс два».

• Рассмотренный тип ошибки называется переполнением (overflow). Переполнение происходит, когда результат по абсолютной величине превышает наибольшее представимое в данной кодировке значение. Ошибка переполнения выявляется проверкой знакового бита результата. Например, при сложении двух положительных чисел возникает отрицательное или наоборот.

• Второй способ представления целых чисел – двоичная нотация с избытком. Ее отличие от двоичного дополнительного кода – противоположное значение знакового бита.

• Использование различных способов представления целых чисел вызвано особенностями выполнения компьютером арифметических операций:

- вместо вычитания используется сложение;

- умножение производится как последовательность сложений и сдвигов;

- деление выполняется многократным прибавлением к делимому дополнительного кода делителя.

• Представление в компьютере дробных чисел

• Числа, имеющие дробную часть, также называют вещественными. Например, число 5 – целое, а числа 5.1 и 5.0 – вещественные.

• Для кодирования вещественных чисел используется двоичная нотация с плавающей точкой. Число преобразуется к виду:

A = M*q^p,

где M – мантисса числа; p– порядок; q^p – характеристика.

• Возможные варианты записи:

1,2510=12,5 × 10^–1 = 125 × 10^–2 = 1,25 × 10⁰ = 0,125 × 10¹ – 0,0125 × 10² и т.д.

• Разрядная сетка числа, представленного в форме с плавающей точкой:

Существует следующая закономерность:

• Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов мантиссы, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине.

• Такое представление вещественных чисел называется нормализованным.

Примечание – При подсчете значащих цифр не учитывают нули, стоящие слева, например, в числе 0,0019030 пять значащих цифр (они подчеркнуты).

• Примеры нормализованного представления чисел:

Обратите внимание :

• 1) Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Если размер мантиссы оказывается недостаточным, часть кодируемого числа теряется. Это явление называется ошибкой усечения (или ошибкой округления).

• 2) Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего числа до наибольшего, представимого в машине при заданном формате.

• Представление в компьютере текста

• В тексте каждому символу присваивается уникальный двоичный код. Наиболее распространенные кодировки:

• 1) ASCII (эс-кии) – American Standart Code for Information Interchange (Американский стандартный код для обмена информацией). Включает 256 двоичных кодов: 128 для латинской раскладки и 128 – для национального алфавита (например, русского). Каждый символ занимает 8 бит (1 байт).

• 2) КОИ-8 – код обмена информацией, восьмибитный. Разработан в странах Восточной Европы, использующих кириллицу. Русский алфавит описывается в кодировке KOI8-R, украинский – в KOI8-U и т.д.

• 3) ISO 8859 – семейство ASCII-совместимых восьмибитных кодировок, разработанных Международной организацией по стандартизации ISO (International Organisation for Standartisation). Для русского языка принят вариант ISO 8859-5, утвержденный в России на уровне государственного стандарта, однако редко используемый на практике.

• 4) Windows-1251. Разработана компанией Microsoft. Является стандартной 8-битной кодировкой для всех русских версий MS Windows.

• 5) Unicode (Юникод) – универсальная система кодирования. содержит семейство кодировок (форм представления или UTF, Unicode Transformation Format): UTF-8, UTF-16, UTF-32, где число означает количество байт на символ. Позволяет представить знаки практически всех письменных языков.

• 6) UCS (англ. Universal Multiple-Octet Coded Character Set) – универсальный многооктетный (многобайтовый) кодированный набор символов. Представлен в новой серии международных стандартов ISO/IEC 10646, разрабатываемых рабочей группой ISO в тесном сотрудничестве с консорциумом Юникода.

• Между стандартом Юникода и ISO/IEC 10646 установлена синхронизация. Аналогично форматам UTF-16 и UTF-32 в стандарте Юникода, стандарт ISO/IEC 10646 также имеет две основные формы кодирования символов: UCS-2 (2 байта на символ, аналогично UTF-16) и UCS-4 (4 байта на символ, аналогично UTF-32). UCS-2 можно считать подмножеством UTF-16, а UCS-4 является синонимом для UTF-32.

• Кодирование изображений

• Графическая информация хранится в виде двоичных кодов. Методы представления изображений делят на растровые и векторные (рис. А). Основным элементом растрового изображения является точка, векторного – линия.

• В растровой графике объект состоит из точек – пикселей (pixel). Кодируется цвет каждой точки. Полученную комбинацию битов называют битовой картой (bit map), она представляет карту (схему) изображения. Формат файлов *.bmp.

• Если каждый пиксел имеет один из двух цветов (черный (0), или белый (1), то для хранения информации о цвете пиксела достаточно 1 бита памяти (log₂2= 1бит) (объем всего изображения равен числу пикселей, рис. Б).

• 2 бита позволяют хранить 4 цвета (log₂ 4 = 2 бита), а объем файла будет вдвое больше чем количество пикселей (рис. В).

• 256 градаций цвета каждой точки требуют 1 байт, т.е. 8 бит (log₂ 256 =8 бит) для хранения информации о цвете каждой точки).

• Системы кодирования цветных изображений

• Для кодирования цветных изображений применяют принцип декомпозиции (разложения) цвета на основные составляющие. Наиболее популярны системы кодирования (или цветовые модели) RGB, CMY, HSB.

• Модель RGB использует красный (Red), зеленый (Green) и синий (Blue) цвета. Это основные цвета модели. Их парное сочетание в равных долях дает дополнительные цвета: желтый (Yellow), голубой (Cyan) и пурпурный (Magenta).

R+G=Y; G+B=C; B+R=M.

• Краткий обзор цветовых моделей

• Модель RGB используется в мониторах, проекторах, фотоаппаратах и других излучающих или анализирующих свет устройствах. Модель является аддитивной (суммирующей), то есть, цвета добавляются к черному (blacK).

• Модель CMY используется в полиграфии при формировании изображений на бумаге. Основными цветами являются: голубой (Cyan) и пурпурный (Magenta), желтый (Yellow), - дополнительные цвета модели RGB (они получаются вычитанием цветов R, G, B из белого). Поэтому модель CMY называется субтрактивной: C=W-R; M=W-G; Y=W-B.

Парное сочетание в равных долях цветов модели CMY дает цвета модели RGB: Y+C=G, C+M=B и M+Y=R.

Теоретически, сумма C+M+Y=K, т.е. дает черный (blacK) цвет, но проще его добавить отдельно, а модель назвать CMYK.

• Модель HSB основана на цветах модели RGB. Любой цвет в модели HSB определяется своим цветовым тоном Hue «хью» (собственно цветом), насыщенностью Saturation (т.е. процентом добавленной к цвету белой краски) и яркостью Brightness (процентом добавленной черной краски).

• В модели Lab параметр L показывает яркость пикселов, параметр a передаёт цвета от темно-зеленого до ярко-розового с разными вариациями насыщенности и яркости, а параметр b – от светло-синего до ярко-желтого. Lab однозначно определяет цвет. Используется для конвертирования данных между другими цветовыми пространствами.

• Перекодирование цифровых данных

• Примеры перекодирования: сжатие, шифрование, помехоустойчивое кодирование и др.

• Сжатие – это перекодирование с целью уменьшения объема. Для сжатия используют программы – архиваторы.

• Различают сжатие без потерь и с потерями (восстановление возможно с искажениями). Сжатие без потерь используется при обработке текстовой и числовой информации, а с потерями – при обработке звуковой, фото и видеоинформации.

• «Классические» форматы сжатых файлов: ZIP, ARJ, RAR.

• Средства создания и обслуживания архивов обеспечивают:

• создание архивов;

• тестирование;

• восстановление;

• защиту;

• извлечение и добавление информации;

• Основные методы сжатия цифровых данных.