3. Агрегат как случайный процесс. Информация и управление. Последовательное раскрытие элементарного события.

Ответ:

Агрегат как случайный процесс. Поскольку процессы функционирования реальных сложных систем по своему существу носят случайный характер, для аг­регата как математической модели используются основные понятия теории случайных процессов. Как известно, случайный про­цесс является функцией двух переменных: w и t, где w — элемент вероятностного пространства W, а t — элемент множества рас­сматриваемых моментов времени Т. Пусть каждому wÎW поста­влены в соответствие число ¥³t=t(w)³0 и функция x(t, w), определенная при любых w для 0£t£t(w). Система функций   называется обрывающимся случай­ным процессом. Иначе говоря, у обрывающегося случайного процесса каждая его реализация   имеет свое собственное время определения  . Наряду со случайным процессом введем понятие случайного потока. Случайным потоком называется па­ра  , где   — конечное или счетное мно­жество моментов времени;   принимают значения y(f) из не­которого измеримого пространства Y выходных сигналов агрега­та. Таким образом, под случайным потоком понимается совокуп­ность случайных моментов времени   и случайных значений некоторой функции  , принимаемых в моменты, принадлежа­щие последовательности  . Системы функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими. Для их описания вводится случайный оператор:  w Î W - пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A).  Случайный оператор H1, переводящий множество X в множество Z:  z = H1(x, w), реализующий отображение множества  W в множество {X®Z } Оператор переходов будет представлен соответственно:  z(t)= H1{t,t0,z(t0, w0), (t, xL]t0t, w`},  y(t) = G1(t, z(t), w`` ). Где w0, w’, w’’ - выбираются из W в соответствии с  P0(A), Px(A), Py(A).  При фиксированных w’, w’’ - система со случайными начальными состояниями.  При фиксированных w0, w’’ - система со случайными переходами. При фиксированных w0, w’ - система со случайными выходами.   

4. Кусочно-непрерывные и кусочно-линейные агрегаты. Приведение кусочно-линейных и кусочно-непрерывных агрегатов к каноническому виду.

Ответ:

Кусочно-непрерывный агрегат - это агрегат, функционирующий как автономный агрегат в промежутках между подачей сигналов.

Кусочно-линейный агрегат - это агрегат, в котором процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями dz_v(t)/dt = F^(v)(z_v), где F^(v) - оператор связи.

Представление реальных систем в виде композиции агрегатов неоднозначно, вследствие неоднозначности выбора фазовых переменных.

Путем дальнейшего расширения множества состояний и соответствующих преобразований координат можно привести кусочно-линейный агрегат к более простому виду. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть в момент t состояние кусочно-линейного агрегата z (t) = (v, z_v). Тогда, если предположить, что, начиная с момента t, внешние воздействия на агрегат прекратились, можно определить момент первого выхода вектора дополнительных координат на границу _v области Г_v, а также ту грань _vi0, на которую произойдет выход. Выход на границу произойдет в момент t + , =min _j, где величины

_j = _j (z_v) находятся из условия z_v — __j_vj. Номер грани i₀, на которую произойдет выход вектора дополнительных координат, определится равенством  _i0 = .

Из определения кусочно-линейного агрегата следует, что  и i₀ находятся из решения конечной системы линейных алгебраических уравнений, проверки ряда линейных неравенств и взятия минимума. Заметим также, что номер i₀ не меняется вдоль траектории движения дополнительных координат.

Определим новый агрегат (кусочно-линейный), взяв в качестве основного состояния пару v_k = (v, i₀). За первую дополнительную координату, которую обозначим через Zv_k1, возьмем (в случае |v| > 0) величину . По своему смыслу — это неотрицательная переменная, убывающая с единичной скоростью вплоть до того момента, когда она обращается в нуль.

Пусть последний переход исходного агрегата из одного основного состояния в другое имел место в момент t* < t. В этот момент значение времени до выхода на границу было равно _*. Уже было отмечено, что номер i₀ не изменяется в течение всего времени пребывания агрегата в некотором основном состоянии. Выберем в качестве второй дополнительной координаты нового агрегата, которую обозначим через Zv_k2, величину _*. Таким образом, Zv_k2- Zv_k1 суть время, прошедшее с момента последнего изменения основного состояния исходного агрегата. Выберем в качестве i-и (i > 2) дополнительной координаты нового агрегата значение Zv, i-2 (t*), т. е. Zv_k,i = zv, i-2 (t*). Отсюда следует, что все дополнительные координаты нового агрегата (в случае их существования), начиная со второй, сохраняют свои значения неизменными вплоть до перехода в другое основное состояние. Очевидно, поступления входного сигнала не нарушают построенной конструкции и учитываются естественным образом. Построенный агрегат является кусочно-линейным и его характеристики однозначно определяются через характеристики исходного агрегата. Легко видеть, что верно и обратное: зная состояние нового агрегата, который назовем агрегатом в каноническом виде, можно однозначно восстановить состояния исходного агрегата.

Следовательно, можно вместо кусочно-линейных агрегатов общего вида рассматривать такие кусочно-линейные агрегаты, у которых первая из дополнительных координат убывает с единичной скоростью, а остальные не изменяют своих значений до момента обращения в О первой координаты. Благодаря этому вид областей Fv чрезвычайно простой: Fv = \zv: zvi^0), и отпадает необходимость различать грани областей Fv. Каждая такая область имеет единственную грань zvi = 0. При рассмотрении теоретических вопросов часто оказывается удобным исследовать агрегат в каноническом виде. В то же время для численных расчетов, моделирования и т. п. это оказывается не всегда целесообразным. Следует отметить, что для кусочно-линейного случая нахождение характеристик агрегата в каноническом виде через характеристики исходного агрегата и обратно не вызывает принципиальных трудностей.

Укажем, что к такому же (каноническому) виду может быть сведен и кусочно-непрерывный агрегат, определяемый в § 6.2. Таким образом, класс кусочно-линейных агрегатов совпадает, по существу, с классом кусочно-непрерывных агрегатов. Однако переход от произвольного кусочно-непрерывного агрегата к каноническому связан с целым рядом принципиальных трудностей, таких, как нахождение времени т и точки на границе YV, куда попадает вектор дополнительных координат, поскольку, в общем случае, эти величины будут случайными, и их распределения находятся в результате решения достаточно сложных вероятностных задач.

Если же траектория движения в области Fv является, скажем, решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то для перехода к агрегату в каноническом виде требуется, вообще говоря, произвести интегрирование данной системы.