Высказывательные функции

Пусть переменные принимают значения, принадлежащие произвольным множествам:

Функция которая принимает значения 0 и 1, где - элементы произвольных множеств, называется n – местной высказывательной функцией или двузначным n-местным предикатом. А переменные – предметными переменными.

В исчислении предикатов применяются спец операторы – кванторы.

Квантор общности – это оператор, который данной одноместной высказывательной функции ставит в соответствие булеву переменную z, принимающую значение 1 тогда и только тогда, когда y=1 при всех значениях x. Например булева переменная принимает значение 1 тогда и только тогда. Когда от вершины №4 ко всем вершинам графа проходят дуги

Квантор существования – это оператор, который данной одноместной высказывательной функции ставит в соответствие булеву переменную z, принимающую значение 0 тогда и только тогда, когда при всех значениях x.

Высказывательные функции находят весьма разнообразные применения при моделировании сложных систем.

Класс абстрактных систем, описываемых высказывательными функциями, оказываются более широким, чем класс систем, описываемых булевыми функциями, и включает последний как частный случай. Это вытекает из того обстоятельства, что булевы функции можно рассматривать как частный случай высказвательной функции.

Переменные и интерпретируется как предметные переменные соответствующих высказвательных функций и, значит, могут быть элементами произвольных множеств. В качестве булевых переменных фигурируют только , являющихся координатами состояний и выходных сигналов . Таким образом. Для описания абстрактной системы при помощи высказывательной функций достаточно, чтобы конечными множествами были лишь множества .

На практике нередко встречаются весьма интересные применения высказыкательных функций для моделирования систем и в тех случаях, когда множество состояния системы не является конечным, но для решения поставленных задач достаточно учитывать лишь конечное число некоторых так называемых особых состояний системы.

Марковские процессы.

Наибольшее распространение в теории систем и ее приложениях получили Марковские процессы, представляющие собой типичную вероятностную модель систем без последствия.

Случайный процесс мы будем обозначать где принимают значения из некоторого множества Z, a t – моменты времени, Значение , , принимаемое процессом в момент t – состояние процесса в момент t, множество Z – пространство состояний процесса, функции z=z(t) для всех - траектории дли реализации случайного процесса .

Отметим, что, как правило, процессы, описывающие поведение реальных систем, не являются марсквскими. Однако возможны приемы, преобразующие процесс к марковскому путем введения дополнительных координат, т е путем включения исходного немарковского процесса в более сложный марковский.

Конечные автоматы.

Существет класс систем, для описания которых оказывается весьма полезной специальная математическая схема – конечные автоматы.

Под алфавитом будем понимать конечное множество объектов, называемых буквами. В качестве букв можно рассматривать объекты любой природы: буквы алфавита, цифры, знаки, рисунки, слова, фразы.

Словом в данном алфавите называется конечная упорядоченная совокупность букв. Например в алфавите (x,y) словами будут хху, хух и т д. Длина слова изменяется числом содержащихся в нем букв. Употребляется так же пустое слово, не содержащее ни одной буквы; оно обозначается пустым множеством.

В дальнейшем существенную роль играют соответствия между словами в одной и том же или различных алфавитах. Алфавитным оператором или аолфавитным отображением называется соответствие, сопоставляющее словам в данном алфавитеслова в том же алфавите или в некотором другом. В последнем случае различают входной и выходной алфавиты оператора и соответственно входные и выходные слова.

Перейдем к определению конечного автомата. Вначале задается множество моментов времени в каждой из которых конечный автомат находится в некотором состоянии. Состояние автомата в момент обозначается . Множество состояний автомата будем обозначать Z. Предполагается, что это множество конечно, откуда и название «конечный автомат».

Любое допустимое входное слово вызывает появление на выходе автомата выходного слова такой же длины. Получаемое таким образом соответствие между допустимыми входными и выходными словами называется отображением, индуцируемым данным автоматом.

Отображение F, индуцируемое автоматом, удовлетворяет следующим двум условиям: 1) любому входному слову ставится в соответствие выходное слово , имеющее с одинаковую длину; 2) если - начальный отрезок слова , то слово является начальным отрезком слова .

Эти условия называются условиями автоматности отображения (оператора). Всякое отображение, удовлетворяющее этим условиям, будем называть автоматным отображением. Любое автоматное отображение может быть индуцировано некоторым автоматом.