Построение s-области

Исследование устойчивости относится к задачам анализа систем. В принципе анализ устойчивости должен считаться завершенным, если на вопрос о том, сохраняет ли система некоторое свойство процесса функционирования при определенных условиях, получен ответ типа «да—нет». Однако для практических целей часто такого ответа недостаточно, а необходимы еще некоторые количественные характеристики, относящиеся к устойчивости. Так, при асимптотической устойчивости обычно интересуются размерами максимальной области в пространстве начальных состояний, в которой еще справедливо

Такая область называется областью притяжения решения или областью асимптотической устойчивости.

Часто задачу о нахождении указанных количественных оценок можно сформулировать так — построить такую область S в множестве некоторых параметров системы что если , то система остается устойчивой в смысле того или иного определения. Если параметры отличны от параметров , то, как уже говорилось, такие области называются областями устойчивости. В некоторых случаях рассматривают множество параметров частично или полностью совпадающих (зависимых) с , как, например, в случае области асимптотической устойчивости.

Построение указанных областей необходимо прежде всего для задач синтеза систем, поскольку при синтезе следует, по возможности, выбирать значения параметров системы таким образом, чтобы они лежали в построенных областях.

В силу того, что области S, о которых говорится в настоящем параграфе, не обязательно являются областями устойчивости, будем называть их для краткости S-областями.

Для простоты рассмотрим случай частичного совпадения с , а не случай их зависимости.

Обозначим условно через — параметры, входящие в , но не входящие в . Тогда указанное сохранение свойства функционирования системы при есть не что иное, как устойчивость в некотором смысле при фиксированном параметре и возмущаемом параметре .. В частном случае, тогда все параметры системы оказываются фиксированными. Это лишь означает, что семейство состоит из одного одноточечного множества { }. Конечно, поскольку изменились возмущаемые параметры системы, то новое определение устойчивости, вообще говоря, не совпадает с прежним. В силу сделанного замечания можно считать, что параметры отличаются от .

Нахождение S-области можно осуществлять на ЭВМ с помощью алгоритмов, описанных ниже.

К настоящему времени для различных систем и различных определений разработано достаточно много методов анализа устойчивости. О них можно прочитать в цитированных выше работах. Мы совсем коротко остановимся на одном, наиболее распространенном — прямом методе Ляпунова. Этот метод позволяет анализировать устойчивость широкого класса систем в различных смыслах. Суть метода заключается в построении специальных (пробных) функций, называемых функциями Ляпунова, обладающих определенными свойствами. Преимущество метода заключается в том, что для его применения не нужно знать траекторий системы, а достаточно знать лишь некоторые «локальные» свойства, и, кроме того, при применении этого метода «бесплатно» получаются интересующие исследователя количественные характеристики.