- •3) Интегрирование простейших рациональных функций
- •5) Интегрирование тригонометрических выражений.
- •7) Основные свойства о.И.:
- •8) Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Численные методы интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций и др.
- •12. Несобственные интегралы.
- •13. Общая схема построения определенного интеграла. Двойной и тройной интеграл и их свойства.
- •14. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов и их вычисление повторным интегрированием.
- •1. Ду первого рода.
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися и разделенными переменными.
- •3. Линейные ду первого рода.
- •4. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера.
- •5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •6. Линейный ду оператор n-го порядка и его свойства. Свайства решений линейного однородного ду. Фундаментальная система решений, определитель Вронского.
- •8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.
- •10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.
- •11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.
- •2) Т. Подобия.
- •3) Дифференцирование оригинала.
- •4) Решение уравнений и систем операторным методом.
4) Решение уравнений и систем операторным методом.
Пусть требуется найти частное решение линейного диф.уравнения с пост. коэффициентами:
y(n)+a1y(n-1) +…+any=f(t) (*), удовлетворяющее начальным условиям: y(0)=c0, y’(0)=c1,…, y(n-1)(0)=cn-1,где с0,с1,..,сn-заданные числа. Искомая функция y=(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) явл.оригиналами.
Пусть
y(t):Y(p)=Y
и f(t):F(p)=F.
Пользуясь свойствами дифференцирования
оригинала и линейности, перейдем в
уравнении (*) от оригинала к изображениям:
(pnY-pn-1c0-pn-2c1-…-cn-1)+a1(pn-1Y-pn-2c0- …-cn-2)+...+an-1(pY-c0)+anY=F. Полученное уравнение называют операторным. Разрешим его относительно Y: Y(pn+a1pn-1+…+an-1p+an)=F+c0(pn-1+a1pn-2+…+an-1)+c1(pn-2+a1pn-3+…an-2)+…+cn-1,т.е. Y(p)∙Qn(p)=F(p)+Rn-1(p), где Qn(p) и Rn-1(p) - алгебр.многочлены от p степени n и (n-1) соответственно.
Из последнего уравнения находим:
. Полученное равенство называется операторным решением диф. уравнения (*).
Доп.вопр)
Криволинейные интегралы 1го рода.
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая L длины l. Непрерывная функция f(x;y) определена в точках дуги L. Разобьем кривую L точками A=M0,M1,…,Mn=B на n произвольных дуг Mi-1Mi с длинами ∆li. Выберем на каждой дуге Mi-1Mi произвольную точку (xi;yi) и составим сумму
Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) по кривой L. Если наибольшая из длин дуг деления ∆li стремится к 0(тогда n->∞) существует конечный предел интегральных сумм, то его называют криволинейным интегралом 1го рода и обозначают:
Криволинейные интегралы 2го рода.
Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая L и функция P(x;y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую L точками A=M0,M1,…,Mn=B в направлении от точки А к точке В на n дуг Mi-1Mi с длинами ∆li. На каждой частичной дуге Mi-1Mi возьмем точку (xi;yi) и составим сумму вида ,где ∆xi=xi-xi-1– проекция дуги Mi-1Mi на ось Ох. Сумму называют интегральной суммой для функции Р(х;у) по переменной х. Если при стремлении наибольшей из длин дуг деления ∆li к 0 интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой L, ни от выбора точек ,то его называют криволинейным интегралом 2го рода и обозначается он так
Формула Грина.
Связь между 2м интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Грина. Пусть на плоскости Оху задана правильная область D.
Т. Если функция P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными ∂P/∂y и ∂Q/∂x в области D, то имеет место формула:
,где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении(т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева