- •3) Интегрирование простейших рациональных функций
- •5) Интегрирование тригонометрических выражений.
- •7) Основные свойства о.И.:
- •8) Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Численные методы интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций и др.
- •12. Несобственные интегралы.
- •13. Общая схема построения определенного интеграла. Двойной и тройной интеграл и их свойства.
- •14. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов и их вычисление повторным интегрированием.
- •1. Ду первого рода.
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися и разделенными переменными.
- •3. Линейные ду первого рода.
- •4. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера.
- •5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •6. Линейный ду оператор n-го порядка и его свойства. Свайства решений линейного однородного ду. Фундаментальная система решений, определитель Вронского.
- •8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.
- •10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.
- •11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.
- •2) Т. Подобия.
- •3) Дифференцирование оригинала.
- •4) Решение уравнений и систем операторным методом.
8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка:
y’’ + p*y’+q*y=0, где p и q – постоянны. Для нахождения общего решения достаточно два его частных решения, образующих фундаментальную систему. Будем искать частные решения в виде:
y=ekx, тогда
k2ekx+pk ekx+qekx=0, т.е. ekx(k2+pk+q)=0 (*)– характеристическое уравнение
При решении хар-го уравнения возможны 3 случая:
1) Корни k1 и k2 уравнения (*) действительные и различные. В этом случае частными решениями явл-ся функции: y1= ek1x и y2= ek2x. Они образуют фундаментальную сист. реш-й, т.к. их определитель Вронского не равн 0. тогда y= C1ek1x +C2ek2x – общее решение
2) Корни действительные и равны, тогда имеем лишь одно частное решение y1= ek1x
y= C1ek1x +C2ek2x – общее решение
3)Корни комплексные:
k1=α+βi, k2= α-βi.
Частные решения: y1= e (α+βi)x y2= e (α-βi)x По формуле Эйлера e iφ=cosφ+isinφ, e -iφ=cosφ-isinφ
Общее решение: y=С1eαxcosβx+ С2eαxsinβx или y=eαx(С1cosβx+C2sinβx)
9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим ЛНДУ y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x). Его общим решением явл. функция y=y*+y^, т.е. сумма произвольного частного решения у* и общего решения y^=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения.
Частное решение y* можно найти, если известно общее решение y^ методом Лагранжа (вариация произвольных постоянных)
Пусть y^=c1y1(x)+c2y2(x) общее решение.
Метод неопределенных коэффициентов:
по виду правой части f(x) уравнения y’’+p*y’+q*y=f(x) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение y’’+p*y’+q*y=f(x) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1: f(x)=Pn(x)*eax. тогда ищем частное решение y* в виде y*=xr*Qn(x) *eax
Случай 2: f(x)= eax(Pn(x)*cosβx+Qm(x)sinβx). частное решение ищем в виде y*=xr* eax(Ml(x)cosβx+Nl(x)sinβx)
10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.
Системой ДУ наз-ся совокупность ДУ, каждое из которых содежрит независимую переменную, искомые функции и их производные. Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной наз-ся нормальной системой ДУ
{dy1/dx= f1(x;y1;y2;…;yn)
{ dy2/dx= f2(x;y1;y2;…;yn)
…………………………….
{ dyn/dx= fn(x;y1;y2;…;yn)
Решением системы называется совокупность из n функций y1, y2,…,yn, удовл. каждому из уравнений этой системы.
Начальные условия имеют вид: y1(x0)= y01, y2(x0)=y02… yn(x0)=y0n
Задача коши: найти решение системы, удовл. начальным условиям.
Теорема: Если в системе все ф-ции fi(x; yi…yn) непрерывны вместе со своими частными производными по yi в некоторой области D((n+1)-мерного пространства), то в каждой точке M0(x0; y01, y02,…, y0n) этой области сущ-т, и притом единственное, решение y1=φ1(x), y2=φ2(x),…, yn=φn(x) системы, удовл начальным условиям.
Решение, получающееся из общего при конкретных значениям постоянных C1,C2,..Cn наз-ся частным решением системы
y1=φ1(x;C1;C2;…;Cn)… yn=φn(x;C1;C2;…;Cn) – общее решение.
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ явл метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка.
Пусть задана нормальная система. Продифференцируем по х. d2y1/dx2=F2(x;y1;y2;…;yn)
Дифференцируя несколько раз получаем d2y1/dx2=F2(x;y1;y2;…;yn)
соберем в систему:
{ dy1/dx=f1(x;y1;y2;…;yn) (*)
{ d2y1/dx2=F2(x;y1;y2;…;yn)
{…………………………..
{ d2y1/dx2=Fn(x;y1;y2;…;yn)
Выразим функции y через х, функцию y1 и ее производные:
{ y2=ψ2(x;y1;y1’;…;y1n-1)
{…………………………..
{ yn= ψ n(x;y1;y1’;…;y1n-1)
Найденные значении y2,y3,…yn подставим в (*). Общее решение y1=φ1(x;C1;C2;…;Cn) Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных найдем y2,y3,…yn y2=φ2(x;C1;C2;…;Cn)… yn=φn(x;C1;C2;…;Cn)