- •3) Интегрирование простейших рациональных функций
- •5) Интегрирование тригонометрических выражений.
- •7) Основные свойства о.И.:
- •8) Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Численные методы интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций и др.
- •12. Несобственные интегралы.
- •13. Общая схема построения определенного интеграла. Двойной и тройной интеграл и их свойства.
- •14. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов и их вычисление повторным интегрированием.
- •1. Ду первого рода.
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися и разделенными переменными.
- •3. Линейные ду первого рода.
- •4. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера.
- •5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •6. Линейный ду оператор n-го порядка и его свойства. Свайства решений линейного однородного ду. Фундаментальная система решений, определитель Вронского.
- •8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.
- •10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.
- •11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.
- •2) Т. Подобия.
- •3) Дифференцирование оригинала.
- •4) Решение уравнений и систем операторным методом.
11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.
Рассм. метод интегрирования нормальной системы, когда она представляет собой систему ЛОДУ с постоянными коэфф-ми. Для простоты рассм. систему 3х уравнений:
(*) aij – постоянные. подставим y1=α*ekx; y2=β* ekx; y3=γ* ekx (**), где α, β, γ – постоянные, кот. надо подобрать так, чтобы (**) удовл. (*)
подставив (**) в (*) получаем
Чтобы эта система имела ненулевое решение, необх и достаточно, что определитель был равен 0:
- характеристическое уравнение системы (*)
Решение: корни характеристического уравнения различны:
Вид частных решений определяется:
y1=C1 α1*ek1x+C2 α2*ek2x +C3 α3*ek3x
y2=C2 β 1*ek1x+C2 β 2*ek2x +C3 β 3*ek3x
y2=C2 γ 1*ek1x+C2 γ 2*ek2x +C3 γ 3*ek3x
Операционное исчисление.
1) Основными первоначальными понятиями в операционном исчислении являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть f(t)-действительная функция действительного переменного t.
Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
1.f(t)Ξ0 при t<0.
2.f(t)-кусочно-непрерывная при t≥0,т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1го рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
3.Существуют такие числа М>0 и s0≥0,что для всех t выполняется неравенство |f(t)|≤M∙eS0t, число s0-показатель роста f(t).
Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p=s+iσ, определяемая интегралом:
Операция
перехода от оригинала f(t)
к изображению F(p)
называется преобразованием
Лапласа.
А соответствие между ними записывается
в виде f(t):F(p).
Свойство линейности:
Линейная
комбинация оригиналов соответствует
така же линейная комбинация изображений,
т.е. f1(x):F1(p),
f2(x):F2(p),то
с1f1(x)+
с2f2(x):с1F1(p)+с2F2(p),
где c1
и c2-постоянная.
Используя свойства интеграла, находим:
2) Т. Подобия.
Если
f(t):F(p),
λ>0,
то f(λt):F/λ
(p/λ),
т.е. умножение аргумента оригинала на
положительное число λ приводит к делению
изображения и его аргумента на это
число.
<Положив λt=t1> (т.к. безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования) .
Т.смещения (затухания).
Если
f(t):F(p),a=const,
то eatf(t):F(p-a),т.е.
умножение оригинала на функцию eat
влечет за собой смещение переменной p:
Изображение функции Хэвисайда.
Рассмотрим
св-во Запаздывания. Если f(t):F(p),
τ >0,то
f(t-
τ):e-pτ
F(p),
те. Запаздывание оригинала на положительную
величину τ
приводит
к умножению изображения оригинала без
запаздывания на e-pτ.
Св-во запаздывания удобно прим. При отыскании изображения функции; функций, описывающих импульсные процессы.Функция 1(t-τ)={1 при t≥τ,{ 0 при t<τ , называется обобщенной единичной функцией (Хэвисайда).
3) Дифференцирование оригинала.
Если
f(t):F(p)
и функции f’(t),f’’(t),…,
f(n)(t)
являются оригиналами, то
f’(t):pF(p)-f(0),
f’’(t):p2F(p)-pf(0)-f’(0),
f’’’(t):p3F(p)-p2f(0)-pf’(0)-f’’(0),
………………
f(n)(t):pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0).
Дифференцирование изображения.
Если
f(t):F(p),
то
F’(p):
-t
f(t),
F’(p):(-1)2
t2
f(t),
………………
F(n)(p):(-1)n
tn
f(t)
т.е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).