§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 ,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что n1;\s\up8(( (A₁, B₁) и n2;\s\up8(( (A₂, B₂) – это векторы нормали к l₁ и l₂.

Теорема 2. 1. l₁ l₂ и l₁ l₂  =  .

2. l₁= l₂  = = .

3. l₁ l₂  A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

4. угол между l₁ и l₂ вычисляется по формуле

cos  = = . (16)

Д оказательство. 1, 2. Очевидно, что l₁ l₂  n1;\s\up8((  n2;\s\up8(( , а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= =  . (_*)

При этом, прямые будут совпадать  у них есть общая точка M_o(x_o, y_o), т. е. если одновременно выполняется

A₁x_o + B₁y_o + C₁ = 0,

A₂x_o + B₂y_o + C₂ = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на  :

(A₁– A₂)x_o + (B₁– B₂)y_o + C₁– C₂ = 0.

В силу (_*) обе скобки равны нулю  C₁– C₂ = 0  C₁/C₂ = . (_**) Объединяя (_*) и (_**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l₁ и l₂ пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число , мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол  между прямыми находится в пределах 0    /2.

П усть  =(n1;\s\up8(( , n2;\s\up8(( ). Тогда 0    .

Очевидно, что  совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0    /2. Тогда  =  

cos  = cos  = ^.

2 случай: /2 <   . Тогда  =  –  и cos  < 0 

cos  = cos ( – ) = – cos  =

= cos  = ^.

Эта формула подойдет и к первому

с лучаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l₁ l₂  n1;\s\up8(( ·n2;\s\up8(( = 0  A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Упражнение 1. Прямые на плоскости могут быть заданы не только общим уравнением. После изучения темы «Взаимное расположение прямой и плоскости» вы легко напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, одна из которых задана каноническим или параметрическим уравнением, а вторая – общим уравнением.

Упражнение 2. Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 2. Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l₁: y = k₁x + q₁, l₂: y = k₂ x + q₂.

Т огда угол между ними вычисляется по формуле

tg  = .

Доказательство. Пусть k₁= tg ₁, k₂ = tg ₂ , а ₁ и ₂ – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда ₁=  – , и, если ₁ /2, то он будет считаться углом между l₁ и l₂. В этом случае tg ₁ 0.

Находим:

tg ₁= tg( – ) = = .

Если ₁> /2 , то между прямыми считается ₂ =  – ₁. Тогда

tg ₂ = tg( – ₁) = – tg ₁=tg ₁ = .

Э та формула подойдет и к первому случаю.

Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула, по которой можно вычислить ориентированный угол от l₁ до l₂, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах –     .