- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Часть I. Аналитическая геометрия
Для самостоятельной работы студентов
физического и математического факультетов
УДК 514.072
ББК 22.151 р 30
Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа
УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических
наук М.Н.Подоксенов
Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,
кандидат физико-математических наук Л.В.Командина
Данное учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика и математика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.
Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».
УДК 514.072
ББК 22.151 р 30
Подоксенов М.Н., 2008.
СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ 6
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 7
§1. Направленные отрезки. Понятие вектора. 7
§2. Операции над векторами. 8
§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве. 12
§4. Проекция вектора на ось. 13
§5. Скалярное произведение векторов. 16
§6. Координаты вектора и точки на прямой. 18
§7. Координаты вектора и точки на плоскости. 18
§8. Координаты вектора и точки в пространстве. 22
§9. Деление отрезка в данном отношении. 24
§10. Векторное произведение. 25
§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах. 27
§12. Смешанное произведение векторов. 30
§13. Двойное векторное произведение. 32
§14. Полярная система координат на плоскости. 33
§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве. 34
§16. Преобразование координат. 36
§17. Общее преобразование координат в пространстве. 39
§18. Примеры решения задач. 40
ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 48
§1. Уравнение кривой и поверхности. 48
§2. Уравнение прямой на плоскости. 51
§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 56
§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой. 58
§6. Пучок прямых. 60
§7. Уравнение плоскости в пространстве. 62
§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости. 65
§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. 66
§10. Уравнение прямой в пространстве. 67
§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 68
§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми. 70
§13. Примеры решения задач. 73
ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89
§1. Эллипс. 89
§2. Гипербола. 92
§3. Конические сечения. Парабола. 95
§4. Касательные к коническим сечениям. 100
§5. Диаметры конических сечений. 101
§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат. 103
§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой. 104
§8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0). 107
§9. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай = 0). 109
111
§10. Примеры решения задач. 111
ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 120
§1. Цилиндрические поверхности. 120
§2. Конические поверхности. 122
§3. Поверхность вращения. 125
§4. Эллипсоид. 127
§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. 128
§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды. 132
§7. Классификация поверхностей второго порядка. 134
§8. Примеры решения задач 138
ПРИЛОЖЕНИЕ 144
§1. Матрицы и определители. 144
§2. Правило Крамера. 145
Используемые сокращения 147
Алфавитный указатель 147
Литература 149