15.Методы интегрирования: Интегрирование методом замены переменных, Интегрирование по частям, Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование методом замены переменных

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g( z)dz. Поэтому  f(х) dx =  f [g(z)] g( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

 udv = uv -  vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям и позволяет свести данный интеграл к более простому.

Пример

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

При этом справедлива следующая теорема:

• Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

• Действительно, если произвести подстановку t=x-b, то дроби первого и второго типа будут интегрируемы в элементарных функциях т. е.

• Квадратные трехчлены третьей и четвертой дробей можно представить в виде (x²+px+q)=(x+p/2)²+(q-p²/4) и, учитывая, что (q-p²/4)>0, ввести вещественную постоянную и сделать подстановку t=x+p/2, тогда задача интегрирования может быть решена с использованием известных формул интегрирования.

16.Прямая линия на плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение прямой, заданное уравнением первой степени общего вида Ax+By+C=0, называется уравнением прямой общего вида.

Рассмотрим случаи:

• В=0 → Ах+С=0 → прямая параллельная оси ОУ.

• В≠0 → Ву= -Ах-С → y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k=-A/B, b=- C/B.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох вокруг начала координат О, чтобы прямая стала параллельна этой оси.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение (1) называется уравнением

прямой с угловым коэффициентом.

Исследуем уравнение (1).

• если в=0, →у=кх - уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.

• если к=0, →у=в прямая параллельная оси Ох.

• если к=0, в=0, →у=0 - уравнение оси Ох.

Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Прямые параллельны, если tg, т.е. k₁=k2

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂

запишем в виде

17.Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а.

F1(c,0), F2(-c,0) – фокусы эллипса.

A1(a,0),A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) – вершины эллипса

В ывод канонического уравнения

18.Гипербола.

Г иперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная равная

Фокусы гиперболы обозначим через F1 и F2, а расстояние между ними - через 2с

(каноническое уравнение гиперболы)

• Асимптотами гиперболы называются прямые, имеющие уравнения