16. Алгебра, высказывания, предикаты, булевая функция, аксиомы алгебры предикатов
Информатика изучает информацию, сообщения или знаковые системы, последовательности. Информационные процессы лучше структурируются и формализуются с помощью алгебраических структур. Утверждение (высказывательная форма) – основная единица, неделимая с точки зрения информации, семантического смысла знаний.
Высказывание – повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать, что оно истинно или оно ложно. (Логические переменные)
Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.
Выражения: х > 5, x > y – предикаты.
7>5 – высказывание.
Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным множеством изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из двухэлементного множества R(f) = {1,0}.
Множество
логических переменных
с
определенными над ним операциями:
–
отрицания
или инверсии,
–
логического
сложения
или дизъюнкции
,
–
логического
умножения
или конъюнкции
называется алгеброй
предикатов
(и высказываний)
, если эти операции удовлетворяют
следующим аксиомам:
Основные аксиомы предикатов:
Аксиома двойного отрицания:
Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и конъюнкции):
Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции (относительно операндов):
Аксиомы одинаковых операндов:
Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым — слагаемого-произведения):
Аксиомы распределения операции (дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот):
Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):
Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):
Аксиома существования единицы (истина, true, 1) и нуля (ложь, false, 0), причем,
17. Таблица истинности, логические операции, упрощение логического выражения
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).
Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно.
-
A
B
A^B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
-
A
B
AvB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.
-
A
не А
1
0
0
1
Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.
-
A
B
A->B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.
-
A
B
A<->B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1