45) Залишковий члену формі Піано

Нехай: 1) f(x) n раз диференційовна в замкнутому околі т.Xo; 2)n-та похідна функції неперервна в т.X. Тоді має місце подання: f(x)=Pn(x)+Rn+1(X), де Pn(x) - многочлен Тейлора для функції f(x), Rn+1(X)=[(X-Xo)ⁿ] – залишковий член у формі Піано (a=(b) при X→Xo, lim(X→0)a/b=0).

Запишемо формулу Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа, замінивши n на n-1:

f(x)=Pn-1(X)+Rn(X), Rn(X)=f⁽ⁿ⁾(c)(X-Xo)ⁿ/n!.

Якщо X→Xo, то C→Xo, f⁽ⁿ⁾(X) є неперервною функцією в т.Xo. Тоді lim(X→Xo)f⁽ⁿ⁾(X)=f⁽ⁿ⁾(Xo).

f⁽ⁿ⁾(c)=f⁽ⁿ⁾(Xo)+α(X), де lim(X→Xo)α(X)=0. Тоді одержимо Rn(X)=f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n!+α(X)(X-

-Xo)ⁿ/n!

f(X)=Pn-1(X)+f⁽ⁿ⁾(X)(X-Xo)ⁿ/n!+[(X-Xo)ⁿ]

46) Розклад деяких елементарних функцій по формулі Тейлора (Маклорена)

1) Y=e^x;

Y⁽ⁿ⁾(x)=e^x;

Xo=0;

Y(0)=1;

Y⁽ⁱ⁾(0)=1

e^x=1+X/1!+X²/2!+…+Xⁿ/n!+o(Xⁿ)

2) Y=sin(x);

Y⁽ⁱ⁾(x)=sin(x+pi/2*i);

Xo=0;

Y(0)=0;

Y⁽ⁱ⁾(0)=0 при i=2k та (-1)^k-1 при i=2k-1

sin(x)=X-X³/3!+X⁵/5!-…+(-1)^n-1*X^2n-1 /(2n-1)!+o(X²ⁿ)

3) Y=cos(x)

cos(x)=1-X²/2!+X⁴/4!-…+(-1)ⁿ⁺¹

*X^2n-2/(2n-2)!+o(X²ⁿ)

4) Y=(1+x)^a

(1+x)^a=1+ax/1!+a(a-1)x²/2!+…

+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)xⁿ/n!+o((1+x)^a)

5) Y=ln(1+x)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…

+(-1)^n-1xⁿ/n+o(ln(1+x))

47 ) Условия монотонности и постоянства функции.

Т-ма если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), и, если всюду на этом интервале f‘(x)=0 , то функция () является постоянной на этом интервале.

Док-во: пусть х0 некоторая фикс точка на (a;b) а х любая точка этого интервала.

Сегменты х₀ ; х целиком принадлежит интервалу (а;в) поэтому ф-я диф и непрерывна на этом сегменте. По теореме Ла-Гранжа зн найдется точка А такая что f(x) – f(x₀ ) = (x-x₀ )*f”(A).

По условию производная f(x) = 0 всюду в интервале (а;b) значит f”(A) = 0. Мы получим f(x) = f(x₀). Это равенство означает что значение ф-и в любой т интервала = ее значению фикс точки. Это означает что ф-я постоянна на интервале.

Т-ма для того что бы диф на инт (а;b) ф-я не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достатачно чтобы производная этой ф-и была неотрицательная (не положительная) везеде на инт.

Док-во:

1. Достатачность: Пусть f’(x)>=0 (<=0) везде на (а;b). Доказать что f(x) не убывает на (а;b). Пусть x и y любые две т из интервала удовлетворяющие x<y. Ф-я f(x) дифференцируема непрерывна на x y поэтому мы можем применить теорему Лагранджа, получим т А, из ху, т., что f(x)-f(y)=(y-x)f’(A).

Т.к. x<y, и f’(A)>=0(<=0) то получим f(x)-f(y)>=0(<=0) значит ф-я не убывает.

Доказано.

2. Необходимость пусть ф(х) диф на (а; б) и не убывает (не возрастсет) . Док-ть что что f’(х)>=0 (<=0). Если ф-ция не убывает (не возрастает ) то согласно теореме о монотонности ф-ции в т-ке пр-ная не может быть отр (пол).

Доказано.

Теорема для того, чтобы ф-ция f(x) возрастала (убывала) на (а;б) достаточно, чтобы её производная f’(x)>=0 (<=0) на этом интервале.

Док-во как достат в пред теореме.

48. Локальні екстремуми функції. Необхідна умова і 3 достатні умови.

Пусть f(x) задана на (a,b). Говорят, что f(x) имеет в т.x₀є(a,b) строгий локальный максимум (минимум), если сущ. некоторая окрестность т. х₀ значение функции в т-х которой f(x)<f(x₀), x<x₀ f(x)>f((x₀)

Локальный max и лок. min объединяются названием локальный экстремум ф-ции, а точки, в кот ф-ция имеет экстр., наз. точками экстремума ф-ции.

Необходимое условие экстремума.

Если ф-ция f(x) имеет в т.х₀ лок экстремум и диф-ма в этой точке, то производная ф-ции в этой точке =0.

F(x) диф-ма в т х₀ f^’(x₀)=0 - ?

Д ок-во: пусть ф-я имеет в т х₀ максимум. Она диф-ма в т => в этой т сущ конечная пр-ная.

, Δx= x-x₀

f(x)-f(x₀)<0, x<x₀=>(f(x)-f(x₀))/Δx<0

x>x₀ (f(x)-f(x₀))/Δx<0

Т.к. одностор произв-е должны быть равными между собой, следует что f’(x₀)=0

Равенство нулю произв-й в точке явл необходимым, но недостаточн для сущ-я экстремума ф-и в этой точке.

Первое достаточное условие экстремума.

Х₀- т возмлжного экстремума и f(x)-диф-ма в некот окрестн х₀

Тогда, если при переходе через х₀ слева направо пр-я ф-ции меняет знак с «+» на «-», то ф-я имеет в этой точке максимум. Если с «-»на «+», то мимнимум. Если знак не меняется, то ф-я в этой точке экстремума не имеет.

Док-во:

1)х<х₀, f’(x)>0 по формуле Лангранжа: f(x₀)-f(x)=f’(ξ)(x₀-x) ξє(x,x₀)

F(x₀)-f(x)>0, f(x)<f(x₀)

x>x₀ f’(x)<0 f(x)-f’(x₀)=f’(ξ)(x-x₀), ξє(x₀,x)

f(x)-f(x₀)<0 => f(x)<f(x₀)

из подчёркнутых неравенств следует, что ф-я f(х) имеет в т х₀ максимум.

2) аналогично доказ и второе утверждение.

3) x<x₀ f’(x)>0 f(x₀)-f(x)=f’(ξ)(x₀-x) ξє(x,x₀)

F(x₀)-f(x)>0 => f(x)<f(x₀)

x>x₀ f’(x)>0 f(x)-f’(x₀)=f’(ξ)(x-x₀), ξє(x₀,x) f(x)-f(x₀)>0 => f(x)>f(x₀)

из подчеркнутого следует, что ф-я возрастает и справа и слева от точки.

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть в т х₀ (точка возможног экстремума) сущ вторая произвдная

Если f’’(x₀)<0, max, f’’(x₀)>0, min

F’(x)>0, x-x₀<0, f’(x)<0, x-x₀>0

х₀- точка максимума

аналогично для мимнимума.

Третье достаточное условие экстремума.

Пусть f(x) n раз диф-ма в некот окрестности т х₀ и n-1раз диф-ма в самой точке. F’(x₀)=f’’(x₀)-f⁽ⁿ⁾(x₀)=0 f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)≠0

N=2k-1 kєN

Тогда в точке х₀ ф-я принимает екстремума, min f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0-max.

Док-во:

Нехай n≥3, а f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0

це означає, що в околі т. х₀ ф-я зростає.

f⁽ⁿ⁾(x)<0, при x<x₀

f⁽ⁿ⁾(x)>0, при x>x₀

c(x,x₀) або с(х₀,х)

(х-х₀)^n-1 >0

Тоді f’(x) та f’’(x) мають один знак.

f(x)<0, при x<x₀

f(x)>0, при x>x₀

Приклад:

y=x⁴

y’=4x³=0 => x₀=0

y⁽⁴⁾=24

y’(0)=y’’(0)=y’’’(0)=0

y⁽⁴⁾=24>0

Отже х₀ - min