42) Правило Лапіталя

1) Нехай f і g диференційовані в деякому околі U точки a за винятком самої a.

2) g’(x)0 xU

3) lim f(x)=lim g(x) (при x→a)

4) lim(x→a) f’(x)/g’(x)=k (скінченне, або нескінченне)

Тоді існує lim(x→a) f(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x)=k

Доведення:

Довизначимо функції f(x) і g(x) в точці x=a

f(a)=g(a)=0; В результаті одержимо, що ці функції неперервні в т.x=a. Непреривність цих функцій в інших точках околу U випливає з (1). Таким чином f(x),g(x) – непреривні на всьому U. Розглянемо довільний сегмент

x –будь-яка змінна,але не а.

(a,x)U. На цьому сегменті функції f і g задовільняють умови т.Коши

с(a,x):f(x)-f(a)/(g(x)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Оскільки f(a)=g(a)=0=>f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c)

Відзначимо, що g(x)0, бо в супротивному випадку g(x) задовільнятиме умови т.Роля, з якої випливає, що (a,x): g’()=0

Але це суперечить умові (2) нашої теореми. Нехай x→a+0. Тоді с→a+0.

Тоді з (4) випливає, що lim(c→a+0)f’(c)/g’(c)=k.

lim(x→a+0)f(x)/g(x)=f’(c)/g’(c)=kАналогічно можна показати, що lim(x→a-0)f(x)/g(x)=k. Тоді lim(x→a)f(x)/g(x)=k.

43) Формула Тейлора для довільної функції

Нехай Y=f(X) диференційовна в деякому околі U т.Xo.

Для цієї функції можна побудувати наступний многочлен.

Pn(X)=f(Xo)+f’(Xo)(X-Xo)/1!+ +f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…

+f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n! (1)

Pn(Xo)=f(Xo), Pn’(Xo)=f’(Xo)…Pn⁽ⁿ⁾(Xo)=f⁽ⁿ⁾(Xo)

Якщо функція не є многочленом в степені n, то f(x)-Pn(X)0.

Rn+1(X)=f(x)-Pn(x) – залишковий член у формулі Тейлора

f(x)=Pn(x)+Rn+1(x) (2)

Формулу (2) можна подати у вигляді

Pn(X)=f(Xo)+f’(Xo)(X-Xo)/1!+ +f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…

+f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n!+Rn+1(x) (2’)

Якщо X-Xo=x=dx, f(x)-f(Xo)=f

f=(i від 1 до n)dⁱf(Xo)/i!+Rn+1(x) (2’)

44) Теорема Тейлора про залишковий член. Загальна форма, форма Лагранжа і Коши

Нехай функція f(X) n+1 раз диференційовна в деякому околі т.Xo. Тоді для будь-якого X окола точки Xo. Тоді для будь-якого X окола U X>0 c(X,Xo):

f(X)=(I від 1 до n) f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁱ/i!+Rn+1 (1), де Rn+1=f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(X-Xo)^n-1/(p*n!)*((x-c)/(x-Xo))^p (2)

(1)– формула Тейлора

(2)– залишковий член в загальній формі

Нехай дано для p>0 і xU. Для визначеності X>Xo.Розглянемо допоміжну функцію відносно t:

(t)=f(x)-f(t)-f’(t)*(x-t)/1!-…

-(fⁿ(t)/n!)(x-t)ⁿ-((x-t)/(x-x₀))^p*Rn+1(x) (3)

Покажемо, що ця функція задовольняє умови теореми Ролля на сегменті [x₀,x]. Дійсно (t) -диференційована і неперервна. (x₀)=(f(x)-f(x₀)-f’(x₀)(x-x₀)-

-f’’(x₀)(x-x₀)²/2!-…-fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!)-Rn+1(x)=0.

(x)=f(x)-f(x)-f’(x)(x-x)-…

-f’’(x)(x-x)/n!-Rn+1(x)((x-x)/(x-x₀))^p =0 ,

(x₀)=(x)

Таким чином умови теореми Ролля виконані, а значить т.С(x,Xo), така що (с)=0. Знайдемо похідну функції (t).

’(t)=0-f’(t)-f’’(t)(x-t)/1!-f’(t)(-1)/1!-f’’’(t)(x-1)²/2!-f’’(t)2(x-t)(-1)/2!-…

-f⁽ⁿ⁺¹⁾(x-t)ⁿt/n!-f⁽ⁿ⁾(t)n(x-t)^n-1(-1)/n!-

-p(x-t)^p-1(-1)Rn+1(x)/(X-Xo)^p=

-f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x-t)ⁿ/n!+p(x-t)^p-1Rn+

+1(X)/(X-X0)^p.

’(c)=-f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-c)^n-p+1*(X-

-Xo)^p/pn!=f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-c)⁽ⁿ⁺¹⁾/pn!((x-

-Xo)/(x-c))^p.

Розглянемо різні форми залишкового члена

с(X,Xo);

(c-Xo)/(x-Xo)<1;

(c-Xo)/(x-Xo)<; 0<<1

c=Xo+(X-Xo);

x-c=(X-Xo)-(X-Xo)=(X-Xo)(1-)

Rn+1(c)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+(X-Xo))(1-

-)ⁿ⁺¹/pn!*((X-Xo)ⁿ⁺¹(X-Xo)^p/((X-

-Xo)(1-))^p

Rn+1(c)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+(X-Xo))(1-)^n-p+1/pn!*(X-Xo)ⁿ⁺¹

1) p=n+1

Rn+1(X)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+(X-Xo))/

/(n+1)!*(X-Xo)ⁿ⁺¹ – залишковий член у формі Лагранжа

Якщо X-Xo=dx, то

f⁽ⁱ⁾(Xo)(X-Xo)^I=dⁱf(Xo)

F⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+(X-Xo))(X-

-Xo)ⁿ⁺¹f(Xo+(X-Xo))

Тоді формулу Тейлора можна подати у вигляді:

F(X)=f(Xo)+(i від 1 до n) dⁱf(Xo)/i!+dⁿ⁺¹(Xo+(X-Xo))/(n+1)!

2) p=1

Rn+1(X)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+(X-Xo))/n!*(1-

-)ⁿ(X-Xo)ⁿ⁺¹ – залишковий член у формі Коши