2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля

Рассмотрим САУ, которая описывается дифференциальными уравнением с постоянными коэффициентами (1.5). На вход поступает произвольная функция времени , необходимо определить в виде функции . Введем единичный импульс 1_i(t) и дельта-функции (рис 2.1); заметим, что

.

Рис. 2.1. Единичные импульсы и дельта-функции

Произвольную функцию аппроксимируем ступенчатой функцией . Аналитическое представление ступенчатой функции для (рис 2.2) имеет вид

.

Согласно разделу 1.3, реакция САУ на дельта-функцию является импульсной переходной функцией . Поэтому ввиду линейности уравнения (1.5), реакция САУ на входной сигнал запишется как:

Рис 2.2. Аппроксимация функции u(t)

Переходя в соотношении к пределу при , находим

.

Интеграл в называется интегралом Дюамеля и представляет собой свертку функций . Таким образом, реакция САУ (1.5) на произвольное входное воздействие u(t) записывается с помощью интеграла Дюамеля при известной импульсной переходной функции

Приведем еще одно полезное свойство дельта-функции [8] :

.

Заметим, что свойство (1.9) является частным случаем при

Положим в формуле равным или ; с учетом и того, что , находим

, при ;

при .

Таким образом, полученные в результаты совпадают с определениями переходной и импульсной переходной функций САУ из разд. 1.3.

Глава 3. Частотные характеристики сау

Свойства САУ можно определить, изучая ее реакцию на различные типы внешних воздействий. В разделе 1.3 были определены реакции САУ на единичное воздействие 1(t) и дельта-функцию , а в разделе 1.4 исследованы реакции элементарных звеньев на эти возмущения.

Существует еще один важный класс внешних воздействий – вибрации (гармонические возмущения) произвольной частоты . Продолжим изучение САУ, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными вещественными коэффициентами . Определим реакцию САУ на внешнее гармоническое возмущение или . Поскольку , , а уравнение линейно то реакции САУ удобно изучать на внешнее воздействие вида . При этом для получения реакции САУ на , достаточно взять действительную Re или мнимую Im части от полученного решения.

3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики

Пусть САУ описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами

Которому соответствует передаточная функция

.

Будем искать решение уравнения при u(t) = e ^{i t} в виде x(t) = ce^it , где комплексная константа c подлежит определению. В результате подстановки u(t) = e^{i t} , x(t)= c e^{i t} в найдем, что с = f(i). Таким образом, при прохождении комплексного сигнала e^{i t} через САУ с передаточной функцией f(p) на выходе получим также комплексный сигнал f(i) e^{i t}. Поэтому реакцию САУ на внешнее гармоническое возмущение можно представить схемой на рис. 3.1 вверху. Комплексная функция называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) САУ.

Любое комплексное число z представляется как

z = z_R + i z_I =  e^{i } ;   mod z  |z| = ;   arg z = arctg(z_I /z_R) .

Поэтому АФЧХ f(i) можно записать в форме f(i) = () e^i() ,после чего реакция САУ на гармоническое возмущение примет вид x(t) = () e^{i[ t + ()]}.

и может быть представлена схемой на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Реакция САУ на вибрацию

Функция () от частоты  называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и характеризует отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного (при () < 1  сигнал ослабляется, () > 1  сигнал усиливается). Функция () от частоты  называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) и определяет сдвиг фаз у выходного и входного сигналов (при () < 0  запаздывание сигнала, () > 0  опережение сигнала).

Замечание. Если i  корень характеристического уравнения a() = 0, то a(i) = 0 и () = , т.е. амплитуда выходного сигнала возрастает неограниченно и имеет место внешний резонанс.