Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
В предыдущей главе
формальная замена операции дифференцирования
степенью
некоторого символа p
позволила ввести понятие передаточной
функции САУ, которая представляла собой
дробно рациональную функцию символа
p. В этой главе будут
даны обоснования такого формального
подхода и интерпретация передаточной
функции САУ. Кроме того на языке “MatLab”
приведены простые алгоритмы вычислений
переходной и импульсной переходной
функции САУ по ее передаточной функции.
2.1. Преобразование Лапласа
Рассмотрим класс
функций
таких,
что
|g(t)| gmax e t , gmax > 0 , > 0 , t [0, ) .
Эти функции
называются функциями экспоненциального
типа. В частности, ими служат экспонента,
тригонометрические функции, полиномиальные
дробно-рациональные функции, а также
суммы и произведения этих функций.
Поставим в соответствие
функцию
комплексного переменного
по
следующему правилу:
.
Интеграл существует
если
,
Функция
называется
преобразованием Лапласа функции
;
называют оригиналом, а
- изображением.
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой
;
при этом полюсы функции лежат левее прямой интегрирования. Заметим что вычисление интеграла осуществляется при помощи теории вычетов [7].
Пусть
а
-
вещественные числа, тогда
- т.е. преобразование Лапласа определяет
линейный оператор.
Для вычисления изображений по Лапласу различных функции используется , а результаты сводятся в специальные таблицы [8,c.235]. Например,
С помощью и правил интегрирования по частям находим
;
Заметим, что все функции определены при t>0, а при равны нулю. Соотношения замечательны тем, что операции дифференцирования и интегрирования в области оригиналов сводятся в области изображений к алгебраическим операциям умножения и деления над полиномами от p.
Продемонстрируем метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа на примере следующего уравнения
Обозначим
и найдем с помощью преобразование
Лапласа левой и правой частей уравнения
; В результате получим
Обратное
преобразование Лапласа левой и правой
частей соотношения с учетом дает
решение исходного дифференциального
уравнения
2.2. Основные теоремы операционного исчисления
Докажем некоторые теоремы, результатами которых можно пользоваться для исследования свойств САУ.
Теорема о смещении.
Пусть
и
при
тогда
Доказательство. Пользуясь определением , запишем цепочку равенств
Теорема об
установившемся значении. Пусть
и
существует
;
тогда
.
Доказательство:
Запишем изображение производной
,
пользуясь определением и формулами
,
;
откуда получаем
.
Перейдем в к
пределу при
,
в результате имеем
.
Поэтому
.
Теорема о начальном
значении. Пусть
,
тогда
.
Для доказательства
достаточно перейти в к пределу при
.
Теорема о свертке
функций. Пусть
и
при
;
тогда
.
Интегралы в формуле
называются сверткой функций
.
Упражнение 4.
Доказать теорему о свертке функций
воспользовавшись тем, что
при
.
Из следует, что умножению функций в области изображений соответствует свертка функций в области оригиналов. Этой формулой можно пользоваться для вычисления обратного преобразования Лапласа от произведения двух дробно-рациональных функций, если переписать ее в виде:
.
Для примера найдем
оригинал от произведения
,
воспользовавшись формулами (2.3), (2.12)
