4.4 Метод d – разбиения
Рассмотрим САУ, у
которой коэффициенты характеристического
полинома
зависят
от некоторого набора параметров {
}
.
Каждой точке
пространства параметров {
}
соответствует набор коэффициентов
и
какие-то корни характеристического
уравнения
.
Пусть
корней уравнения находятся в правой
полуплоскости, тогда
корней этого уравнения – в левой
полуплоскости. Совокупность точек в
пространстве {
}
таких, что
корней уравнения находятся в правой
полуплоскости а(
)
корней – в левой, обозначим через
,
заметим, что область
представляет собой область устойчивости
САУ в пространстве параметров {
}
При движении точки
в пространстве {
}
внутри какой либо области
не изменяется количество корней в левой
и правой полуплоскостях. Как только
один из корней характеристического
уравнения попадает на мнимую ось (т.е.
),
соответствующая точка в пространстве
параметров {
}
выходит на границу области D
– разбиения
Приравнивая к нулю отдельно действительную и мнимую части уравнения , получим границу области D – разбиения в параметрическом виде.
4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
Предположим, что
коэффициенты характеристического
уравнения Линейным образом зависят
от параметра
:
;
В этом случае граница области D-разбиения принимает вид
,
откуда находим
.
Заметим, что функция
комплексная,
хотя исходный параметр
был вещественным. Поэтому, после
построения области устойчивости на
комплексной плоскости (
)
выделяют только вещественные значения
параметра
.
Кривая
на комплексной плоскости (
)
представляет собой образ мнимой оси
,
на плоскости
.
Если заштриховать мнимую ось слева, то
при изменении
от
до
кривая
также
будет заштрихована слева. При этом, если
параметр
,
пересекая границу области D
– разбиения, переходит из заштрихованной
стороны в не заштрихованную, то
соответственно корень характеристического
уравнения переходит из левой
полуплоскости в правую.
Таким образом, построив границу D – разбиения в соответствии с и нанеся штриховку, определяют область – претендент на область устойчивости. Затем внутри такой области выбирают любую точку и проверяют устойчивость САУ, например, с помощью критерия Гурвица. После этого делают окончательный вывод о расположении области устойчивости в пространстве параметров.
4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
Предположим что
коэффициенты характеристического
уравнения зависят от двух параметров
:
В этом случае граница области D –разбиения принимает вид
;
Откуда разделяя вещественную и мнимую части, находим:
Введем следующие обозначения
И перепишем решение двух линейных уравнений в виде
Уравнения задают границу области D – разбиения в параметрическом виде.
Отметим, что
имеют смысл при
.
Если
и система несовместна, то такие
следует исключить из рассмотрения. Если
и
система совместна, то вместо двух
уравнений имеем одно уравнение прямой
в плоскости (
).
.
Прямая называется
особой прямой и соответствует корню
уравнения
.
Особые прямые также наносятся на
D-разбиение.
Если коэффициент
при старшей степени характеристического
уравнения зависит от параметров
,
то на D-разбиение наносится
прямая
,
которая также
называется особой прямой. Поясним
сказанное следующим простым примером:
корень характеристического уравнения
равен
и при изменении знака
вблизи нуля этот корень скачком переходит
из
в
или наоборот.
Правила штриховки кривых D-разбиения и особых прямых. Перечисленные ниже правила штриховки считаются наиболее трудно формализуемым местом в алгоритме построения области устойчивости методом D-разбиения. В каждом конкретном случае необходимо тщательно исследовать полученные на плоскости параметров ( ) области выбирая в них несколько разных точек, определяя с помощью пакета “MatLab” корни характеристического уравнения
Кривая D-разбиения при изменении от до заштриховывается слева, если
и справа – если
;
при этом одна сторона D-разбиения может
быть заштрихована дважды.Особая прямая подвергается штриховке, если при переходе через меняется знак
,
т.е.
.
При этом, если
штриховка однократная; если
,
то штриховка двойная. Если при переходе
через
знак
не меняется, то особая прямая не
заштриховывается.
Особая прямая подвергается однократной штриховке.
Штриховка особых прямых должна быть согласована со штриховкой кривых D-разбиения так, чтобы внутренние стороны углов в точках стыка оказались заштрихованными (Рис. 4.8).
|
Рис 4.8 Правила штриховки кривых D-разбиения |
