13. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

(37)

где P_m1(x) и Q_m2(x) - многочлены степеней, соответственно, m₁ и m₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m₁, m₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m(x) и S_m(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y_чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m(x) и S_m(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y_чн(x). Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего. I. Если f(x) = P_m(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y_чн(x)= R_m(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y_чн(x)= x^r R_m(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать f(x) = P_m(x) в виде f(x) = e^{0 x} [P_m(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s₀ = 0 + 0i, m₁ = m, m₂ = 0, max(m₁, m₂) = m, поэтому y_чн(x)= x^r e^{0 x} [R_m(x) cos 0x + S_m(x) sin 0x] = x^r R_m(x) . Примеры: 1. Найти общее решение уравнения . Решение: характеристическое уравнение k² - 5 k + 6 = 0, его корни k₁ = 2, k₂ = 3, y_oo = C₁e ^2x + C₃e ^3x. Степень многочлена m = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому y_чн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами: y_чн(x)= x^r R_m(x) = Ax³ + Bx² + Dx + E. Тогда ; подстановка этих выражений в уравнение даст [6Ax + 2B] - 5[3Ax² + 2Bx + D] + 6[Ax³ + Bx² + Dx + E] = x³ - 2x. Приводим подобные члены: 6Ax³ + [-15A + 6B] x² + [6A - 10B + 6D] x + [2B -5D + 6E] = x³ - 2x. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3 x2 x 1

6A = 1; - 15A + 6B =0; 6A – 10B + 6D = -2; 2B – 5D + 6E = 0;

A = 1/6; B = 15A/6 = 5/12; D = 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36; E = 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

Итак,

2. . k² - 5 k = 0, k₁ = 0, k₂ = 5, y_oo = C₁ + C₃e ^5x. Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому y_чн(x) ищем в виде y_чн(x) = x(Ax³ + Bx² + Dx + E) = Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex. Тогда [12Ax² + 6Bx + 2D] – 5[4Ax³ + 3Bx² + 2Dx + E] = x³ - 2xE,

x3 x2 x 1

- 20A = 1; 12A - 15B =0; 6B - 10D = -2; 2D - 5E = 0;

A = - 1/20; B = 4A/5 = - 1/25; D = 3B/5 + 2/10 = - 3/125 + 2/10 = 44/250 = 22/125; E = 2D/5 = 44/625.

3. . k⁴ - 5 k² = 0, k² (k² - 5) = 0, k_1,2 = 0, , . Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому y_чн(x) ищем в виде y_чн(x) = x²(Ax³ + Bx² + Dx + E) = Ax⁵ + Bx⁴ + Dx³ + Ex². Тогда

x3 x2 x 1

- 100A = 1; 60B =0; 120A - 30D = -2; 24B - 10E = 0;

A = - 1/100; B = 0; D = 4A/5 + 2/30 = - 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75; E = 24B/10 = 0.

II. Если , то частное решение ищется в виде , если число не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число - корень характеристического уравнения кратности r. R_m(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать в виде . В этом случае , поэтому . Примеры: 4. Найти общее решение уравнения . Решение: характеристическое уравнение k² - 4 k + 4 = 0, (k - 2)² = 0, его корни k_1,2 = 2, у_оо = С₁е^2x + С₂ хе^2x . Степень многочлена m = 3, число является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому y_чн(x) ищем в виде y_чн(x) = x² e^2x[Ax³ + Bx² + Dx + E] = e^2x (Ax⁵ + Bx⁴ + Dx³ + Ex²). Тогда Подстановка этих выражений в уравнение даст После приведения подобных членов и сокращения на e^2x сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3 x2 x 1

20A = 1; 12B =0; 6D = -2; 2E = 0;

A = 1/20; B = 0; D = - 1/3; E = 0.

5. . k² - 5 k + 6 = 0, k₁ = 2, k₂ = 3, y_oo = C₁e ^2x + C₃e ^3x. m = 3, число является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому y_чн(x) ищем в виде y_чн(x) = x¹ e^2x (Ax³ + Bx² + Dx + E) = e^2x (Ax⁴ + Bx³ + Dx² + Ex). Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах. 6. . , . m = 3, число не является корнем характеристического уравнения, поэтому y_чн(x) = e^2x (Ax³ + Bx² + Dx + E). Дальнейшие выкладки опускаем.

Пример на применение общего правила:

7. . , y_oo = e^3x(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x). Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна: второе содержит функцию e^3x, первое - нет (более точно, первое содержит функцию e^0x = 1), поэтому мы должны искать два частных решения (т.е. воспользоваться теоремой 14.5.9.2 о наложении решений). Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению . Запишем правую часть как f(x) = (75x² – 86x + 18) sin 2x = e^0x[0 cos 2x + (75x² – 86x + 18) sin 2x ]. Здесь число s₀ не является корнем характеристического уравнения (r = 0), m = max(m₁, m₂) = 2 (это означает, что в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены второй степени, несмотря на то, что cos 2x в функции f(x) отсутствует), поэтому y_чн,1(x) = е^0x[(Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x] = (Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x. Находим производные этой функции и подставляем в уравнение: (2A+8Ex+4F-4Ax²-4Bx-4D)cos2x+(2E-8Ax-4B-4Ex²-4Fx-4G)sin2x- -6[(2Ax+B+2Ex²+2Fx+2G)cos2x+[(2Ex+F-2Ax²-2Bx-2D)sin2x]+13[(Ax² + Bx + D) cos 2x + (Ex² + Fx + G) sin 2x]= = (75x² -86 x + 18) sin 2x Сравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и одинаковых степенях x:

x2cos2x x cos2x cos2x x2sin2x x sin2x sin2x

-4A – 12E + 13A = 0; 9A =12E; 3A =4E; 8E – 4B – 12A – 12F + 13B = 0; 2A + 4F – 4D – 6B – 12G + 13D = 0; -4E + 12A + 13E =75;9E +12A =75; 3E +4A=25; -8A - 4F – 12E + 12B + 13F = 86; 2E - 4B - 4G - 6F + 12D + 13G =18;

Из первого и четвёртого уравнений находим A = 4/3E, 3E + 16/3E = 25, 25/3E =25, E = 3, A = 4. Перепишем второе и четвёртое уравнения с найденными значениями и : 9B – 12F = 12A – 8E = 24, 3B – 4F = 8, 9F + 12B = -86 + 8A + 12F = -86 + 32 + 36, 3F + 4B = -6,

Решая систему находим 9B + 16B = 24 – 24 = 0, B = 0, F = -2. Третьё и шестое уравнения теперь примут вид , откуда D = G = 0. Окончательно у_чн,1(x) = 4x² cos 2x + (3x² -2x ) sin 2x. Ищем второе частное решение, удовлетворяющее уравнению . Запишем правую часть как f(x) = e^3x[16x cos 2x + 0 sin 2x ]. Здесь число s₀ является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, m = max(m₁, m₂) = 1 (т.е. в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены первой степени), поэтому y_чн,2(x) = е^3x[(Hx + I) cos 2x + (Jx + K) sin 2x] x ^r = [(Hx² + Ix) cos 2x + (Jx² + Kx) sin 2x]. Находим производные этой функции подставляем их в уравнение: Сравниваем коэффициенты:

Итак,

Окончательный ответ:

 

50