8. Действия над рядами

Действия с числовыми рядами

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, т.е. сохраняют сумму ряда, только если она существует):

• Линейная комбинация рядов

Если ряды и сходятся, то сходится и ряд (α, β — постоянные), при этом

• Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если а каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

• Перестановка членов ряда

Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе , , ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к A (расходится к , , ) либо не имеет предела (теорема Римана).

9. Степенные ряды. Определение.

Определение Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+… .

Определение. Если при x=x₀ функциональный ряд сходится, то x₀ называется точкой сходимости функционального ряда.

Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S(x).

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (24) где a, a₀, a₁, a₂, …, a_n, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда)

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R= (если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

|a₀|+|a₁|^.|x-a|+|a₂|^.|x-a|²+…+|a_n|^.|x-a|ⁿ+… (25)

Применим к ряду (25) признак Даламбера

Возможны три случая:

1. Если или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (25) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (24), причём абсолютно.

2. Если , то ряд (25) расходится. В этом случае , то есть при достаточно больших n |u_n+1|>|u_n|, значит ≠0 и ≠0, следовательно, ряд (24) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда. 

Замечание. Любой степенной ряд (24) сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда (24) нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд (24) сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.

Примеры.

Найти область сходимости степенного ряда. 1.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. |u_n|= , |u_n+1|= , = |x|^. |x|^. |x|.

Ряд сходится, если |x|<1 или x (-1;1) – это и есть интервал сходимости. Исследуем концы этого интервала. При x=1 получаем расходящийся обобщённый гармонический ряд . При x=-1 получаем знакочередующийся числовой ряд сходящийся по признаку Лейбница.

Действительно, = и |u_n|= |u_n+1|= Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток [-1;1); R=1.

2. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. |u_n|=n!^.|x-a|ⁿ, |u_n+1|=(n+1)!^.|x-a|ⁿ⁺¹, Таким образом, областью сходимости данного ряда является одна точка x=a; R=0.

3. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. |u_n|= |u_n+1|= при всех x. Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток (-∞;+∞); R=∞.