11. Свойства степенных рядов

Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда

S(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+… (24) вляется непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).

2. Ряд φ(x)=a₁+2a₂(x-a)+…+na_n(x-a)^n-1+…, (26)

полученный почленным дифференцированием ряда (24), является степенным рядом с тем же, что и ряд (24), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда (26) φ(x)=S'(x).

Замечание. Ряд (26) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна и так далее. Таким образом, сумма ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда, полученного из ряда (24) n-кратным дифференцированием равна Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.

Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (24). Тогда имеет место равенство

12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в (a-R;a+R) и является суммой степенного ряда

f(x)= a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+…, (27)

где (a-R;a+R) – интервал сходимости ряда (27). В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки а или по степеням (x-a). Определим коэффициенты a₀, a₁, a₂, …, a_n,… ряда (27), для чего продифференцируем n раз ряд (27).

f(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+ a₃(x-a)³+ a₄(x-a)⁴+…+a_n(x-a)ⁿ+…

f’(x)=a₁+2a₂(x-a)+3a₃(x-a)²+ 4a₄(x-a)³+…+na_n(x-a)^n-1+…

f′′(x)=2a₂+3^.2a₃(x-a)+4^.3a₄(x-a)²+…+(n-1)na_n(x-a)^n-2+…

f′′′(x)=3^.2a₃+4^.3^.2a₄(x-a)+…+(n-2)(n-1)na_n(x-a)^n-3+…

f⁽ⁿ⁾(x)=2^.3…(n-2)(n-1)na_n+…

Все ряды имеют интервал сходимости (a-R;a+R). При x=a из полученных тождеств получаем f(a)=a₀, f’(a)=a₁, f’’(a)=2a₂, …, f⁽ⁿ⁾(a)= 2^.3…(n-2)(n-1)na_n, … . Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (27): a₀=f(a), a₁= a₂= , a₃= , …, a_n= , … . Подставляя полученные значения коэффициентов в ряд (27), получаем

f(x)=f(a)+ (x-a)+ (x-a)²+…+ (x-a)ⁿ+… . (28) называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке a. В частном случае при a=0 ряд (28) принимает вид f(x)=f(0)+ +…+ +… (29) и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция f(x) является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x).

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке a функция f(x). Составим для неё формально ряд Тейлора:f(a)+ +…+ +… .Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией f(x), для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен? Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора

S_n(x)= f(a)+ +…+ . (30)

Многочлен (30) называется многочленом Тейлора степени n. Разность R_n(x)=f(x)-S_n(x) называется остаточным членом ряда Тейлора. Приведём без доказательства следующую теорему

Теорема .

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке а функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы R_n(x)=0. Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа: R_n(x)= , где с – некоторое число из интервала (a;x). Таким образом f(x)= f(a)+ +…+ + (31)

Формула (31) называется формулой Тейлора, а её частный случай при а=0 называется формулой Маклорена:

f(x)= f(0)+ +…+ + где с (0;x).