Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1. Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.

f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+ .

Найдём области сходимости этого ряда.

при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c =0. Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞)

e^x=1+ . (32)

2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции. f′(x)=cosx=sin(x+ ), f″(x)=-sinx=sin(x+ ),

f″′(x)=-cosx=sin(x+ ), f⁽⁴⁾(x)=sinx=sin(x+ ), …, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+ ), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, …, f^(2n-1)(0)=(-1)^n-1, f⁽²ⁿ⁾(0)=0.

Исследуем остаточный член ряда.

|R_n(x)|= = так как |sin(c+(n+1) |≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x (-∞;+∞):

sinx=x- . (33)

3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при x (-∞;+∞):

cosx=1- . (34)

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′(x)=m(1+x)^m-1, f″(x)=(m-1)m(1+x)^m-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)^m-3, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(m-n+1)…(m-2)^.(m-1)m(1+x)^m-n, … При x=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m, f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …, f⁽ⁿ⁾(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x (-1;1) имеет место разложение:

(1+x)^m=1+ + + +…+ . (35)

Ряд (35) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′(x)=x^-1, f″(x)=-1^.x^-2=-1!x^-2, f″′(x)=1^.2^.x^-3=2!x^-3, f⁽⁴⁾(x)=-1^.2^{. .}3^.x^-4=-3!x^-4, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^{n-1. .}(n-1)!x^-n, … .

При x=1 получаем: f(1)=0, f′(1)=1, f″(1)=-1!, f″′(1)=2!, f⁽⁴⁾(1)=-3!, …, f⁽ⁿ⁾(1)=(-1)^n-1(n-1)!, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0;2] и что . Таким образом, при x (0;2] имеет место разложение:

lnx= . (36) Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.

Дифференциальные уравнения

1. Определение ду. Решение ду. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

(1) (все три переменные x, y, F - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

; (2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

; (3) и получать общее решение в форме (4)

решённой относительно неизвестной функции.

ОДУ первого порядка.

.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

(5) где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

(6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или . Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: . Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые. Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С ( , где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром). Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x₀) = y₀; (9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ). Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)). Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x₀ достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения. 6