Распределение гармонического колебания (закон арксинуса)

Это гармоническое колебание постоянной амплитуды U_max и постоянной частоты можно рассматривать как случайную величину, если начальная фаза есть случайная величина.

При описании непрерывного распределения используют еще квантили. Квантилем, отвечающим заданному уравнению вероятности P, называется такое значение случайной величины Х_р, при которой функция распределения принимает значение P.

F(Х_р)= P(x < Х_р)=P,

при Р = 0,5 получается квантиль, в этом случае

Р(х < μ_е) = Р(х > μ_е), где μ_е – медиана,

т.е. одинаково вероятно окажется случайная величина меньше или больше медианы. Медиана используется иногда для характеристики центра распределения, а другие квантили для характеристики рассеивания случайной величины.

Если , то 5% и 95% квантили ограничивают интервал случайной величины х_0,05 – х_0,95, в котором с вероятностью 0,9 попадают значения случайной величины.

х_0,05 μ_е х_0,95

Для непрерывных случайных величин характеристикой положения является также мода. Мода – это значение случайной величины, при которой плотность распределения f(x), достигает максимума. Если максимумов несколько, то распределение называется полимодальным (двухмодальное, трехмодальное и т.д.). Встречаются распределения, обладающие не максимумом, а минимумом плотности распределения и называются антимодальными.

В теории вероятностей часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат испытаний описывается не одной случайной величиной, а двумя и более, образующими систему. Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин ее составляющих, помимо этого они включают взаимные связи (зависимость между случайными величинами). Полной характеристикой системы произвольного числа случайных величин служит закон распределения системы.

Функция распределения системы n случайных величин называется вероятностью совместного выполнения неравенств вида:

n(x₁, x₂, … , x_n)

F(x₁, x₂, … , x_n) = P[(X₁< x₁)(X₂< x₂)…(X_n< x_n)]

Соответственно плотность распределения системы n непрерывных случайных величин называется n-я смешанная частная производная функции распределения, взятая один раз по каждому аргументу.

f(x₁, x₂, … , x_n) =

Второй смешанный центральный момент называется попарным корреляционным моментом системы случайных величин.

(x_i – m_i)(x_j – m_j) f(x₁, x₂, … , x_n) dx₁dx₂...dx_n

Корреляционный момент описывает помимо рассеивания случайных величин еще и связь между ними. Если k_ij ≠ 0, то это признак наличия зависимости между величинами и системы случайных величин.

На практике удобно пользоваться коэффициентом корреляции:

r_ij характеризует степень линейной зависимости случайных величин. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной.

r_ij характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами и и может принимать значения -1 ≤ r_ij < 1.

Для независимых случайных величин r_ij = 0 (обратное утверждение не всегда справедливо).