3. Медиана

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. это значение признака, которое приходится на центральный (средний) член ранжированного ряда.

Если число вариант нечетно, т.е. , то . Если число вариант четно, т.е. , то медиана равна:

.

Например, для ряда 2 5 7 9 11 медиана равна 7, а для ряда 2 4 6 8 9 12 медиана равна (6+8)/2=7.

На медиану влияют только центральны значения признака. Если ряд не точно определен на концах интервала, то это не исказит значение , хотя отрицательно повлияет на .

В некоторых случаях применение вообще оказывается невозможным и в качестве средней выступает значение . Это относится к качественным признакам.

Для интервального ряда медиана рассчитывается следующим образом:

,

где - накопленная частота -го интервала (медианного): , , ; - число наблюдений.

Расчет медианы в MS Excel производится с помощью следующей функции:

Медиана - Возвращает медиану заданных чисел. Если в множестве четное количеств чисел, то функция медиана вычисляет среднее двух чисел, находящихся в середине множества.

Синтаксис

МЕДИАНА(число1;число2;...)

Число1, число2,...    — от 1 до 30 чисел, для которых определяется медиана.

4. Вариационный размах

При все значения вариационного ряда одинаковые. При имеет место варьирование значений признаков. Мера варьирования называется вариационным размахом, который определяется как:

.

Вариационный размах определяется лишь крайними значениями признака и не отражает колеблемость остальных вариант.

На рис. 11 показаны распределения с одинаковыми средними, но с разным вариационным размахом, а на рис. 12 с одинаковым вариационным размахом, но разными средними.

Отклонением называют разность между значениями признака и общей средней. Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты всегда равна нулю: .

Средним абсолютным отклонением называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:

.

Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.

В MS Excel вариационный размах рассчитывается следующим образом:

СРОТКЛ - Возвращает среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, которые содержат нулевые значения учитываются.

Синтаксис

СРОТКЛ(число1; число2; ...)

Число1, число2,...    — это от 1 до 30 аргументов, для которых определяется среднее абсолютных отклонений. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

5. Дисперсия

Величина, которая характеризует разброс параметров относительно среднего значения, называется дисперсией.

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения:

Если же значения признака имеют соответственно частоты , при чем , то

.

Генеральным средним квадратичным отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:

.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг выборочного среднего значения , вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений наблюдаемого признака от их среднего значения :

Если же значения признака имеют соответственно частоты , при чем , то

.

Деление на обусловлено тем, что оценка дисперсии является смещенной оценкой и оценивая дисперсию генеральной совокупности по выборке следует учитывать, что она никогда не будет равна выборочной дисперсии. Поэтому и вводится поправка с целью уменьшения систематической ошибки. Такую дисперсию еще называют исправленной выборочной дисперсией.

Выборочным средним квадратичным отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

.

Для вычисления дисперсии (безразлично выборочной или генеральной) можно применять для расчета упрощенную формулу:

,

где , .

Для расчета дисперсии в MS Excel используется целый ряд функций:

ДИСП - Оценивает дисперсию по выборке.

Синтаксис

ДИСП(число1;число2; ...)

Число1, число2,...    — от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих выборке из генеральной совокупности.

ДИСПА - Оценивает дисперсию по выборке. В расчете помимо численных значений учитываются также текстовые и логические значения, такие как ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Синтаксис

ДИСПА(значение1;значение2;...)

Значение1, значение2,...     — это от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих выборке из генеральной совокупности.

ДИСПР - Вычисляет дисперсию для генеральной совокупности.

Синтаксис

ДИСПР(число1;число2; ...)

Число1, число2,...    — от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности.

ДИСПРА - Вычисляет дисперсию для генеральной совокупности. В расчете помимо численных значений учитываются также текстовые и логические значения, такие как ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Синтаксис

ДИСПРА(значение1;значение2;...)

Значение1,значение2,...    — это от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности.