- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
Цель работы: изучить формулы интерполяции для таблиц с постоянным шагом; научиться решать задачи численного дифференцирования и обратного интерполирования; для функции, заданной таблично, найти приближённое значение в точках , , и значение производной в точке ; найти корень уравнения методом обратной интерполяции.
Постановка задачи
-
Построить матрицу конечных разностей в среде пакетов MATLAB и MATHCAD.
-
Написать функции в среде пакета MATHCAD, реализующие первую и вторую формулы Ньютона, первую и вторую формулы Гаусса. Найти значения функции в узловых точках, используя полученные функции. В пакете MATLAB написать программу для вычислений с помощью первой или второй формулы Ньютона.
-
Вычислить значения в заданных точках , , в среде пакетов MATLAB и MATHCAD.
-
Построить график интерполяционного полинома в среде пакетов MATLAB и MATHCAD.
-
Найти значение производной в точке , используя соответствующую формулу в пакете MATHCAD.
-
Найти корень уравнения методом обратного интерполирования в среде пакетов MATLAB и MATHCAD.
-
Проверить полученные значения, используя встроенные функции пакетов MATLAB и MATHCAD.
Содержание отчета
-
Постановка задачи.
-
Теоретические сведения.
-
Листинги счета на ЭВМ.
-
Выводы.
Теоретические сведения
Конечные разности. Пусть известны значения некоторой функции для равноотстоящих значений аргумента . Конечными разностями первого порядка называются следующие величины:
; ; …; ; … .
Aналогично определяются конечные разности второго порядка:
; ; …; ; …
и т.д.
Конечные разности -го порядка выражаем через конечные разности -го порядка: ; ; …; ; … .
Вычисление конечных разностей можно оформить в виде табл. 7.1, которая называется диагональной таблицей конечных разностей.
Таблица 7.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
|||||
|
|||||
|
|||||
|
Первая интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционный полином Ньютона – форма записи интерполяционного полинома Pn(x), которая допускает уточнения результатов интерполирования последовательным прибавлением новых узлов.
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
,
где .
Формула используется для интерполирования в точках , близких к началу таблицы , поэтому её называют также и интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы. Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней косой строке таблицы конечных разностей.
Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона записывается в виде
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции.
Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть точка интерполирования лежит вблизи конечной точки таблицы . В этом случае для интерполирования применяется вторая интерполяционная формула Ньютона
,
где .
Вторая интерполяционная формула Ньютона содержит конечные разности, расположенные в нижней косой строке таблицы конечных разностей.
Погрешность второй формулы
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции .
Интерполяционная формула Гаусса. Пусть точка интерполирования лежит в середине таблицы между узлами интерполяции и , т.е. . В этом случае для интерполирования применяется интерполяционная формула Гаусса
,
где ; – целая часть числа .
Погрешность интерполяционной формулы Гаусса имеет вид
,
где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполирования.
Численное дифференцирование. Пусть функция задана таблицей своих значений . Требуется вычислить производную в некоторой точке .
Пусть для определенности точка находится в начале таблицы. Построим интерполяционный многочлен по первой формуле Ньютона
,
где .
Производную приближённо можно вычислить следующим образом:
,
т.е.
Если требуется найти производную в точке , лежащей в середине или в конце таблицы, то формулу для её вычисления получаем, исходя из формулы Гаусса или второй интерполяционной формулы Ньютона.
Обратное интерполирование. Задача обратного интерполирования заключается в определении по заданному значению функции , соответствующего значения. Если – монотонная непрерывная функция на интервале , причем , то функция в этом случае имеет обратную функцию.
Пусть задана функция :
Для многочлена Лагранжа нужно просто перевернуть таблицу:
.
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов. Для определенности полагаем, что содержится между и (для 1-й формулы Ньютона). Этот метод называется методом последовательных приближений:
.
Используем метод итерации. Для этого необходимо уравнение привести к виду :
.
После приведения уравнения к виду, пригодному для метода итерации, в качестве начального приближения выбираем
.
Доказано, что при . В случае получения расходящегося процесса необходимо уменьшить h. Продолжая процесс итерации, получаем
.
Процесс итерации на практике продолжается до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точности:
.
Для нахождения корня уравнения методом обратной интерполяции нужно рассмотреть функцию и составить таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбирается в зависимости от требуемой точности корня. Выбираем интервал, на котором функция меняет знак, и решаем задачу обратного интерполирования, т.е. отыскиваем значение x, для котoрого y = 0.