12.5. Оцінка випадкових похибок прямих рівноточних вимірювань

Як правило, результати багатократних спостережень при прямих вимірюваннях будь-якої фізичної величини одержуються одним оператором, в однакових умовах і за допомогою одного й того ж способу вимірювання. Такі вимірювання прийнято називати рівноточними.

За результат вимірювання приймається оцінка X, яка обчислюється за формулою:

, (12.4)

де χ_і – результати вимірювань;

n – число спостережень.

Випадкова похибка результату кожного спостереження характеризується значенням середньоквадратичного відхилення (СΚΒ)σ_х. Оскільки при практичних розрахунках є можливість визначити лише значення

, (12.5)

що називаються випадковими відхиленнями результатів окремих спостережень, то для розрахунку σ_х застосовують рівняння:

. (12.6)

Аналогічним чином випадкову похибку результату вимірювання можна охарактеризувати значенням СКВ _х. Відомо, що:

. (12.7)

Переходячи до оцінки _х і скориставшись формулою (12.6), знаходимо:

. (12.8)

Одержані точкові оцінки і _х хоча й дозволяють оцінити результат вимірювання та його випадкову похибку, але не містять в собі ніяких відомостей про ймовірність даних оцінок. Тому від точкових оцінок треба перейти до так званих інтервальних оцінок, пов’язаних з визначенням довірчих меж випадкової похибки вимірювання, основаних на розподiлi Стьюдента. Довірчі межі – це верхня і нижня межі інтервалу, всередині якого з заданою довірчою ймовірністю P знаходяться похибка результату вимірювання.

Для визначення довірчих меж випадкової похибки результату вимірювання, які позначаються ξ, користуються коефіцієнтом Стьюдента t. Кількісний зв'язок між ξ і t записується у вигляді:

. (12.9)

При практичних розрахунках значення ξ слід обчислювати для Ρ = 0,95. Якщо вимірювання не можна повторити, то приймають Ρ = 0,99. Тому в табл. 12.1 наведено значення t(n) для вказаних значень Ρ.

Таблиця 12.1

Значення коефіцієнта t для розподілу Стьюдента, що задовольняють ймовірність Ρ (t, n)

№ п/п	P = 0,8	P = 0,9	P = 0,95	P = 0,98	P = 0,99	P = 0,999
2	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	63,7
3	1,886	2,92	4,30	6,96	9,92	31,6
4	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94
5	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	8,61
6	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	6,86
7	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	5,96
8	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	5,40
9	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	5,04
10	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	4,78
11	1,372	1,812	2,23	2,76	3,17	4,59
12	1,363	1,796	2,20	2,72	3,11	4,49
13	1,356	1,782	2,18	2,68	3,06	4,32
14	1,350	1,771	2,16	2,65	3,01	4,22
15	1,345	1,761	2,14	2,62	2,98	4,14
16	1,341	1,753	2,13	2,60	2,95	4,07
17	1,337	1,746	2,12	2,58	2,92	4,02
18	1,333	1,740	2,11	2,57	2,90	3,96
19	1,330	1,734	2,10	2,55	2,88	3,92
20	1,328	1,729	2,09	2,54	2,86	3,88