1.52. Неперервні випадкові величини і їх числові характеристики

Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу) випадкової величини Х називається функція , яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення менші від числа х:

(1.29)

Приклад 1.21. Дано ряд розподілу випадкової величини

	1	4	5	7
	0,3	0,2	0,4	0,1

Х:

Знайти і зобразити графічно її функцію розподілу.

Розв’язання. Будемо задавати різні значення х і знаходити для них

1. Якщо , то (в тому числі і при ).

2. Нехай (наприклад, х = 2); . Очевидно, що й .

3. Нехай (наприклад, ); . Очевидно, що й .

4. Нехай . . Очевидно, що й .

5. Нехай .

Отже,

.

Зобразимо функцію

графічно (рис. 5).

Функція розподілу лю-

бої дискретної випадкової ве-

личини є розривна ступенева

функція, стрибки якої прохо-

дять в точках, що відповідають

можливим значенням випадко-

вої величини і рівні ймовірно-

стям цих значень. Сума усіх

с

рис. 5

трибків функції дорівнює

одиниці.

Властивості функції розподілу

1. Функція розподілу випадкової величини є невід’ємна функція, заключна між нулем і одиницею .

2. Функція розподілу випадкової величини є не спадаюча функція на усій числовій осі.

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, на плюс нескінченності дорівнює одиниці, тт. , .

4. Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал дорівнює прирощенню її функції розподілу на цьому інтервалі, тт.

(1.30)

Приклад 1.22. Випадкова величина Х задана функцією розподілу ймовірностей

Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (2,5; 3,5).

Розв’язання. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал обчислюємо за формулою (1.30)

.

Щільністю ймовірності (щільністю розподілу або просто щільністю) неперервної випадкової величини називається похідна її функції розподілу

(1.31)

Щільність імовірності іноді називають диференціальною функцією або диференціальним законом розподілу.

Графік щільності ймовірності називають кривою розподілу.

Приклад 1.23. Випадкова величина задана функцією розподілу

.

Знайти диференціальну функцію.

Розв’язання. Використавши формулу (1.32), отримаємо

.

Властивості щільності ймовірностей

1. Щільність ймовірності невід’ємна функція, тт.

2. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервал [ ] дорівнює визначеному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від до , тт.

(1.32)

3. Функція розподілу неперервної випадкової величини може бути записана через щільність за формулою

(1.33)

4. Невласний інтеграл в нескінченних межах від щільності ймовірності неперервної випадкової величини дорівнює одиниці:

.

Приклад 1.24. Щільність ймовірності неперервної випадкової величини

.

Знайти функцію розподілу і побудувати графіки і .

Розв’язання. Використовуючи формулу (1.33) для кожного з інтервалів знайдемо .

1). Якщо , то , отже

.

2). Якщо , отже

.

3). Якщо , отже

.

Таким чином функція розподілу має вигляд:

.

Б удуємо графіки функцій і (рис. 6 і рис. 7).

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку , називають визначений інтеграл

(1.34)

Якщо можливі значення належать до усієї осі , то

(1.34')

Дисперсією неперервної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата її відхилення.

Якщо можливі значення Х належать відрізку , то

, (1.35)

якщо можливі значення належать до усієї осі , то

. (1.35')

Зауваження. Для обчислення дисперсії неперервної випадкової величини можна використовувати більш зручні формули

(1.36)

або

. (1.36')

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається як і для величини дискретної рівністю

(1.37)

Приклад 1.25. Дана інтегральна функція:

Знайти: математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Знайдемо спочатку диференціальну функцію:

.

Обчислимо математичне сподівання за формулою (1.34)

дисперсію за формулою (1.36):

середнє квадратичне відхилення за формулою (1.37):

.

Модою випадкової величини називається її найбільш вірогідне значення (при якому ймовірність або щільність ймовірності досягає максимуму).

Медіаною неперервної випадкової величини називається таке її значення, для якого

(1.38)

Приклад 1.26. Знайти моду, медіану і математичне сподівання випадкової величини Х, яка задана щільністю ймовірності

.

Розв’язання. Крива розподілу представлена на рис. 8

Очевидно, що щільність ймовірності максимальна при . Медіану знайдемо з умови

або

звідки

Математичне сподівання обчислюємо за формулою (1.34')

Взаємне розташування точок , і в порядку зростання абсцис вказано на рис.8.