Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій:

2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

3. Математичне сподівання алгебраїчної суми кінцевого числа випадкових величин дорівнює тій же сумі їх математичних сподівань:

4. Математичне сподівання добутку кінцевого числа незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

5. Якщо всі значення випадкової величини збільшити (зменшити) на сталу С, то на цю ж сталу збільшиться (зменшиться) математичне сподівання цієї випадкової величини:

6. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю:

.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата її відхилення від математичного сподівання

(1.26)

або

, (1.26′)

де .

Властивості дисперсії

1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю:

2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підносячи його до квадрата:

3. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини і квадратом її математичного сподівання:

(1.27)

4. Дисперсія алгебраїчної суми кінцевого числа незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

5. Дисперсія числа появи події в незалежних випробуваннях, в кожнім з яких ймовірність появи події стала, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи і не появи події в одному випробуванні:

.

Дисперсія має розмір квадрата випадкової величини, що не завжди зручно. Тому показником розсіювання використовують також величину .

Середнім квадратичним відхиленням (стандартним відхиленням або стандартом) випадкової величини Х називається арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії

(1.28)

Приклад 1.20. На шляху руху автомобіля чотири світлофори. Кожний з них з ймовірністю 0,5 або дозволяє, або забороняє автомобілю подальший рух. Побудувати многокутник розподілу ймовірностей випадкової величини, що відображує число світлофорів, які автомобіль пройде без зупинки. Чому дорівнюють математичне сподівання і дисперсія випадкової величини.

Р озв’язання. Нехай випадкова величина Х – число світлофорів, які пройде автомобіль без зупинки. Ця величина може приймати наступні значення: , , , , .Ймовірність того, що число пройдених світло-

По цим даним будуємо многокутник розподілу ймовірностей (рис. 4).

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини по її закону розподілу

	0	1	2	3	4
	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0625

Х:

Тоді використавши формулу (1.25), отримаємо:

.

Для визначення дисперсії дискретної випадкової величини визначимо спочатку , для чого складемо таблицю.

	0	1	4	9	16
	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0625

Х²:

.

Тоді за формулою (1.27) матимемо

.