Локальна теорема Муавра-Лапласа

Якщо ймовірність появи події в кожнім іспиті стала і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність

, (1.23)

де і .

Функція – парна , монотонно спадна (при ) і обчислюється за таблицею1 (Додаток 1).

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Якщо ймовірність появи події в кожному іспиті стала і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія з’явиться в іспитах від до разів, наближено дорівнює

, (1.24)

де і , .

Функція Лапласа Ф( ) – непарна (Ф(- ))= – Ф( ), монотонно зростаюча (при , Ф ) і обчислюється за таблицею додатку 2.

Наближені формули Муавра-Лапласа застосовують практично у випадках коли і не малі а [1]. При цій умові формули (1.23) і (1.24) дають незначні похибки обчислення ймовірностей.

Приклад 1.18. В деякій місцевості на кожні 100 сімей припадає 80 холодильників. Знайти ймовірність того, що з 400 сімей: а) 300 сімей мають холодильники; б) від 320 до 350 сімей (включно) мають холодильники.

Розв’язання. Ймовірність того, що сім’я має холодильник . Перевіримо умову застосування формул (1.23) і (1.24.)

, , , тоді .

Отже, теоремами Муавра-Лапласа можна користуватися.

а) Скориставшись локальною теоремою Муавра-Лапласа. Спочатку визначимо , враховуючи, що , , , , тоді

Користуючись додатком 1 позначенню знайдемо , врахувавши парність .

Отже, за формулою (1.23) маємо: .

б) За умовою , , , , .

Визначимо і

,

Ф(0)=0, Ф(3,75)=0,499890005-0 0,5

Отже, за формулою (1.24) маємо

.

1.5. Випадкові величини

Випадковою величиною називають таку змінну величину, яка у результаті випробування може набувати одного з можливих значень, причому заздалегідь невідомо якого.

Дискретною (перервною) називається випадкова величина, яка набуває окремі, ізольовані можливі значення з визначеними ймовірностями.

Неперервною називається випадкова величина, нескінченна множина значень якої є деякий інтервал (кінцевий або нескінчений) числової осі.

Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями.

1.5.1. Дискретні випадкові величини і їх числові характеристики

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини Х є таблиця (матриця), в якій перелічувані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності

		...		...
		...		...

Х:
Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо по осі абсцис відкладати

значення випадкової величини, а по осі ординат – відповідні їм ймовірності. З’єднання отриманих точок утворює ломану, яка називається многокутником або полігоном розподілу ймовірностей.

Приклад 1.19. Гральну кістку кинули 3 рази. Написати закон розподілу числа з’явлення шістки.

Розв’язання. За умовою

, , .

.

Закон розподілу числа з’явлення шістки відповідає біномному розподілу

Тоді

0	1	2	3

Х:

Закон розподілу цілком характеризує дискретну випадкову величину. Але часто закон розподілу буває невідомим або незручним для аналізу і тому приходиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді вигідніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно.

Числа, які призвані у стислій формі відтворювати найбільш характерні риси розподілу називаються числовими характеристиками випадкової величини.

Незважаючи на те, що сама величина Х – випадкова, її числові характеристики є величинами не випадковими, сталими.

Математичним сподіванням або середнім значенням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків усіх її значень на відповідні їм ймовірності

(1.25)